Pochodna funkcji zespolonej

[Bajcepz]

Jak to jest z pochodnymi funkcji zespolonych? Liczy się je jak normalne pochodne funkcji rzeczywistych? Jeśli mam poniższy przykład to w jaki sposób go rozwiązać? Nachodzą mi 2 myśli:
-z traktować jako x i normalnie pochodną sumy.
-za cosz podstawić ze wzoru eulera, za z=x+iy i obliczyc.
Przykład:
\(\displaystyle{ 5cosz + iz^{3}}\)

[leg14]

Mozesz albo liczyc tak jak w przypadku rzeczywistym, albo zamienic \(\displaystyle{ z}\) na \(\displaystyle{ x+iy}\) i traktowac to jako funkcje \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2}\) - wyjdzie na to samo. (zakładając, że wiesz jak różniczkę takiej funkcji rzeczywistej interpretować jako liczbę zespoloną, ale to musiało być na wykładzie)

[Kmitah]

Pochodną funkcji zespolonej liczy się jak pochodną funkcji rzeczywistej, wszystkie reguły obowiązują.
Np.
\(\displaystyle{ \left(\sin(z) + z^3 \right)' = \cos(z)+3z^2}\)
Trzeba pamiętać jednak, że nie każda funkcja różniczkowalna w sensie rzeczywistym, jest różniczkowalna w sensie zespolonym. Np. \(\displaystyle{ |x|}\) jest różniczkowalny w sensie rzeczywistym wszędzie poza zerem, zaś \(\displaystyle{ |z|}\) nie jest różniczkowalny w sensie zespolonym na żadnym zbiorze otwartym, gdyż przyjmuje tylko wartości rzeczywiste, a jest różny od stałej.