Dowód ciągłości funkcji 2 zmiennych

[K0za]

Witam,
Mam problem z udowodnieniem ciągłości funkcji dwóch zmiennych. Wykazanie nieciągłości wiem jak zrobić, wystarczy wskazać dwa ciągi ktore w otoczeniu punktu krytycznego zachowują się inaczej, ale co z ciągłością? np takie zadanie:
Wykaż, że funkcja jest ciągła
\(\displaystyle{ f\left( x,y\right)= \begin{cases} \frac{x ^{3}y ^{3}}{x ^{4} + y^{4}} &\mbox{dla } x ^{4} +y^{4} \neq 0 \\
0 &\mbox{dla } x=y=0 \right) \end{cases}}\)
Mógłby ktoś podpowiedzieć, jakiej metody użyć?
oraz drugie problematyczne dla mnie zadanie:
Sprawdzic dla jakich \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) funkcja jest ciagła
\(\displaystyle{ f \left( x,y \right) =\begin{cases} \frac{\ln \left( 1+\left| x\right| \right) }{\left| x\right| + \left| y\right| } &\mbox{dla } x \neq 0 \\
\left| y\right|&\mbox{dla } x=0 \right) \end{cases}}\)
Z góry dziękuję za pomoc/wskazówki

[Premislav]

Pierwsze: należy więc uzasadnić, że
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x ^{3}y ^{3}}{x ^{4} + y^{4}}=0}\)
W tym celu zauważmy, że
\(\displaystyle{ 0 \le \left| \frac{x^3y^3}{x^4+y^4} \right| = \frac{|x|^3|y|^3}{|x|^4+|y|^4}=|xy|\cdot \frac{|x|^2|y|^2}{|x|^4+|y|^4} \le \frac 1 2|xy|}\)
gdyż mamy
\(\displaystyle{ \frac{ab}{a^2+b^2} \le \frac 1 2 \Leftrightarrow (a-b)^2 \ge 0}\)
gdy \(\displaystyle{ a^2+b^2\neq 0}\), a to jest oczywiste.
Oczywiście \(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac 1 2|xy|=0}\), więc także
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)}\left| \frac{x^3y^3}{x^4+y^4} \right| =0}\)
a stąd
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^3y^3}{x^4+y^4} =0}\)

-- 6 cze 2017, o 17:18 --

Drugie: wskazówka
- przypomnij sobie znaną granicę \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t}=1}\)
i rozpisz
\(\displaystyle{ \frac{\ln(1+|x|)}{|x|+|y|}= \frac{\ln(1+|x|)}{|x|} \cdot \frac{|x|}{|x|+|y|}}\)
Masz sprawdzić, dla jakich \(\displaystyle{ (0,y_0) \in \RR^2}\) mamy
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,y_0)} \frac{\ln(1+|x|)}{|x|+|y|}=|y_0|}\)
(przeważnie tak nie będzie).
bo poza punktami tej postaci funkcja jest oczywiście ciągła jako iloraz funkcji ciągłych, gdzie mianownik nie znika (nie zeruje się).

[K0za]

Dzięki za odpowiedz.
rozumiem Twoj sposób na zadanie pierwsze, a czy tak jak ja poniżej też jest poprawnie?
Niech \(\displaystyle{ x _{n},y _{n} \rightarrow (0,0)}\) przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) oraz \(\displaystyle{ x_{n}, y_{n} \subset D}\)
Wówczas zachodzi (z definicji Heinego)
\(\displaystyle{ 0 \le \left| F \left( x_{n},y _{n} \right) \right|= \frac{\left| x ^{3} _{n} \right|*\left| y^{3} _{n} \right| }{\left| x ^{4} _{n}+y ^{4} _{n} \right| } \le \frac{\left| x ^{3} _{n} \right| *\left| y^{4} _{n} \right| }{\left| y ^{4} _{n} \right| } =\left| x ^{3} _{n}\right| \rightarrow 0}\)
Na podstawie twierdzenia o trzech funkcjach F(x,y) również dąży do 0.
edit: chyba napisałem bzdurę, już widzę że moje rozwiązanie jest niepoprawne.. Dzięki! btw w takiej sytuacji (iloczyn w liczniku) możemy zmniejszać lub zwiększać potęgi w liczniku, żeby nierówność była spełniona? Właściwie chyba zmniejszać skoro te ciągi dążą do zera?
Czy w drugim odpowiedź do: dla \(\displaystyle{ y _{0}=0}\)?

[Premislav]

Rzeczywiście, rozwiązanie, które powyżej przedstawiłeś, jest niepoprawne - nie ma żadnego uzasadnienia dla takiej nierówności, jaką napisałeś, i rzeczywiście, jest ona niepoprawdziwa gdy
np. \(\displaystyle{ x_n=y_n=\frac{1}{n^{\frac 1 4}}\)
Wówczas \(\displaystyle{ |x_n^4+y_n|^4= \frac{2}{n}, \ |y_n|^4=\frac 1 n, \ |x_n|^3|y_n|^3= \frac{1}{n^{\frac 3 2}}, |x_n|^3|y_n|^4= \frac{1}{n^{\frac 7 4}}}\)
i łatwo widać, że nierówność, jaką napisałeś, wówczas nie zachodzi.

W zadaniu drugim pytano Cię o wszystkie punkty płaszczyzny, w których ta funkcja jest ciągła, więc odpowiedź to \(\displaystyle{ \RR\setminus\left\{ 0\right\} \times \RR=\left\{ (x,y) \in \RR^2: x\neq 0\right\}}\)
W punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) (tj. \(\displaystyle{ y_0=0}\)) ta funkcja też nie jest ciągła (wbrew temu, co napisałeś), gdyż
\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to (0,0) } \frac{\ln \left( 1+\left| x\right| \right) }{\left| x\right| + \left| y\right| }}\) nie istnieje: by się o tym przekonać, rozważ ciągi punktów
\(\displaystyle{ \left( 0, \frac 1 n\right)}\) i \(\displaystyle{ \left( \frac 1 n, \frac 1 n\right)}\)
i skorzystaj ze wspomnianej przeze mnie granicy (w tym drugim przypadku, w pierwszym to niepotrzebne).

[K0za]

Ok, w takim razie mam
\(\displaystyle{ \frac{\ln(1+|x|)}{|x|+|y|}= \frac{\ln(1+|x|)}{|x|} \cdot \frac{|x|}{|x|+|y|}}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{\ln(1+|x|)}{|x|} \rightarrow 1}\), zatem muszę zbadać do czego dąży
\(\displaystyle{ \frac{|x|}{|x|+|y|}}}\)
ale nie wiem co z tym dalej

[Premislav]

No to przecież już Ci napisałem, rzecz jasna jeśli
\(\displaystyle{ y_0 \neq 0}\),
to \(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to (0,y_0)} \frac{|x|}{|x|+|y|}=0}\) (po prostu podstawiasz te wartości),
natomiast jeżeli \(\displaystyle{ y_0 \neq 0,}\)
to
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,y_0)}\frac{|x|}{|x|+|y|}=0}\)
nie istnieje (wskazałem Ci ciągi zbieżne do \(\displaystyle{ (0,0)}\), dla których granica wychodzi różna).

[K0za]

Dzeki!