Czy istnieje taki ciąg?

[Kmitah]

Czy istnieje taki ciąg \(\displaystyle{ y_n}\), że szereg
\(\displaystyle{ \sum y_n}\)
jest zbieżny, ale
\(\displaystyle{ \sum y_n x_n}\)
jest rozbieżny dla dowolnego ciągu \(\displaystyle{ x_n}\) rozbieżnego do nieskończoności?

[a4karo]

Nie.
Dla dowolnego szeregu zbieżnego o wyrazach dodatnich \(\displaystyle{ \sum y_n}\) istnieje szereg zbieżny \(\displaystyle{ \sum x_n}\) taki, że \(\displaystyle{ x_n/y_n\to\infty}\)

[Kmitah]

To mam inne pytanie:

Mamy dany ciąg \(\displaystyle{ y_n \rightarrow \infty}\). Czy zawsze istnieje taki ciąg \(\displaystyle{ x_n}\), że
\(\displaystyle{ \sum x_n y_n = \infty,}\)
ale
\(\displaystyle{ \sum x_n < \infty}\)
?

[a4karo]

Tak, Spróbuj go skonstruować

[Kmitah]

Myślałem nad tym, ale jakoś nie wydaje mi się, by istniała ogólna konstrukcja ciągu \(\displaystyle{ x_n}\) zależnego od \(\displaystyle{ y_n}\) spełniającego założenia. Chyba że rozbilibyśmy to na kilka przypadków, w zależności od tego jaki jest \(\displaystyle{ y_n}\).

[Dasio11]

Hint: istnieje taki podciąg \(\displaystyle{ (y_{n_k})}\) ciągu \(\displaystyle{ y_n,}\) że \(\displaystyle{ y_{n_k} \ge 2^k.}\) Wystarczy skonstruować odpowiedni ciąg \(\displaystyle{ (z_k)}\) a potem przyjąć \(\displaystyle{ x_{n_k} = z_k}\) oraz \(\displaystyle{ x_n = 0}\) dla \(\displaystyle{ n \neq n_k.}\)


\(\displaystyle{ \begin{array}{c|cccccccccccc}
\multicolumn{2}{c}{} & & _{\ge 2} & & & _{\ge 4} & & & & _{\ge 8} & & \\
y_n & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 & y_7 & y_8 & y_9 & y_{10} & y_{11} & \ldots \\[1ex] \hline
z_k & & & z_1 & & & z_2 & & & & z_3 & & \ldots \\[1ex] \hline
x_n & 0 & 0 & z_1 & 0 & 0 & z_2 & 0 & 0 & 0 & z_3 & 0 & \ldots
\end{array}}\)

[a4karo]

Raczej \(\displaystyle{ x_n=1/z_n}\)

[Dasio11]

Raczej nie.

Edit: OK, w takim razie doprecyzuję, co miałem na myśli. Ciąg \(\displaystyle{ z_k}\) trzeba skonstruować w taki sposób, że dawał tezę razem z podciągiem \(\displaystyle{ y_{n_k}}\) - jest to łatwiejsze, niż dla samego ciągu \(\displaystyle{ y_n,}\) bo \(\displaystyle{ y_{n_k}}\) wybraliśmy tak, żeby był szybko rosnący. Następnie w opisany w poprzednim poście sposób przerzedzamy ciąg \(\displaystyle{ z_k}\) zerami, otrzymując ciąg \(\displaystyle{ x_n,}\) który będzie wówczas spełniał tezę już z ciągiem \(\displaystyle{ y_n.}\)

[a4karo]

Hint: istnieje taki podciąg \(\displaystyle{ (y_{n_k})}\) ciągu \(\displaystyle{ y_n,}\) że \(\displaystyle{ y_{n_k} \ge 2^k.}\) Wystarczy skonstruować odpowiedni ciąg \(\displaystyle{ (z_k)}\) a potem przyjąć \(\displaystyle{ x_{n_k} = z_k}\) oraz \(\displaystyle{ x_n = 0}\) dla \(\displaystyle{ n \neq n_k.}\)


\(\displaystyle{ \begin{array}{c|cccccccccccc}
\multicolumn{2}{c}{} & & _{\ge 2} & & & _{\ge 4} & & & & _{\ge 8} & & \\
y_n & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 & y_7 & y_8 & y_9 & y_{10} & y_{11} & \ldots \\[1ex] \hline
z_k & & & z_1 & & & z_2 & & & & z_3 & & \ldots \\[1ex] \hline
x_n & 0 & 0 & z_1 & 0 & 0 & z_2 & 0 & 0 & 0 & z_3 & 0 & \ldots
\end{array}}\)

Dla jasności pozwolę sobie doprecyzować : np

\(\displaystyle{ \begin{array}{c|cccccccccccc}
\multicolumn{2}{c}{} & & _{\ge 2} & & & _{\ge 4} & & & & _{\ge 8} & & \\
y_n & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 & y_7 & y_8 & y_9 & y_{10} & y_{11} & \ldots \\[1ex] \hline
z_k & & & 1/2 & & & 1/4 & & & & 1/8 & & \ldots \\[1ex] \hline
x_n & 0 & 0 & 1/2 & 0 & 0 & 1/4& 0 & 0 & 0 & 1/8& 0 & \ldots
\end{array}}\)

[Dasio11]

Dla jasności pozwolę sobie doprecyzować

Ja bym to raczej nazwał uzupełnieniem mojej wskazówki do pełnego rozwiązania.