Rozkład na ułamki zwykłe

[duszan1]

Witam. Potrzebuję pomocy przy rozkładzie całki na ułamki zwykłe. Niestety mam trochę zaległości, a na pojutrze muszę zrobić zadania domowe, lecz coś mi nie wychodzi. Do rzeczy:

Ogólnie polecenie brzmi:
Obliczyć całkę z funkcji wymiernej:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x ^{3} - 4x }}\)

Przekształcenie którego dokonałem to: //Swoją drogą pytanie, czy dozwolona jest zamiana dx ((jeszcze nie do końca rozumiem co to oznacza)) na 1 w liczniku w takim przypadku
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{x(x-2)(x+2)}}\)

Następnie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x+2}}\)

\(\displaystyle{ 1=A(x^{2}-4)+Bx(x+2)+Cx(x-2)}\)

I teraz mam problem, bo nie bardzo rozumiem co z tym zrobić:
Do tej pory próbowałem tak (bardzo możliwe że tutaj coś zepsułem):
\(\displaystyle{ 0x ^{2} +0x + 1 = (A+B+C)x ^{2} + (2B-2C)x-4A}\)

Następnie z tego (o ile nie zrobiłem wyżej żadnych błędów) mamy układ równań, z którym już nie do końca wiem co zrobić:

\(\displaystyle{ \begin{cases} A+B+C=0\\2B-2C=0\\-4A=1\end{cases}}\)

Z którego wyznaczyć możemy jedynie \(\displaystyle{ A}\) (To jest główny powód, dla którego wydaje mi się że musiałem gdzieś popełnić błąd).
Z góry dzięki za ewentualną pomoc.

[mortan517]

Z którego wyznaczyć możemy jedynie A (...)

A to niby dlaczego? Wszystkie zmienne da się wyznaczyć.

[duszan1]

Ech, nie wiem co wbiłem sobie do głowy. Idąc dalej:
Współczynniki \(\displaystyle{ A, B}\) oraz \(\displaystyle{ C}\) to kolejno \(\displaystyle{ -\frac{1}{4} , -\frac{1}{8} , \frac{3}{8}}\)

A więc:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x(x-2)(x+2)} = \frac{- \frac{1}{4} }{x} + \frac{- \frac{1}{8} }{x-2} + \frac{ \frac{3}{8} }{x+2}}\)

Więc teraz takie pytanie na upewnienie się - żeby obliczyć całkę \(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x ^{3} - 4x }}\) obliczam całki tych trzech ułamków i dodaje je do siebie?

[mortan517]

Zgadza się.