Całka przez podstawienie

[Piotrox]

Witam, mam następujące zadanie aby policzyć taką oto całke \(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{e}\ln x dx}\) i mam do tego użyć podstawienia \(\displaystyle{ t=\ln x}\) (z góry narzucone). Przez części byłoby prosto jednak nie mam pojęcia jak zrobić coś takiego ponieważ jestem w całkach początkujący. Proszę o pomoc i wytłumaczenie.

[Dreeze]

Możesz policzyć najpierw nieoznaczoną, albo zmienić granice całkowania w następujący sposób,

\(\displaystyle{ \begin{cases}t = \ln x \\ dt = \frac{1}{x}dx \end{cases}}\)
a do tego trzeba policzyć jakie będą granice po podstawieniu, czyli,
Górna \(\displaystyle{ \rightarrow \ln e = 1}\), dolna \(\displaystyle{ \rightarrow \ln 1 = 0}\).

A więc,

\(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{e}\ln x dx = \int_0^1 txdt}\)

Jak się pozbyć \(\displaystyle{ x}\)?
\(\displaystyle{ t = \ln x \rightarrow e^t = x}\)

Zatem, \(\displaystyle{ \left(\ldots\right) = \int_0^1 te^t dt}\)
A to policzysz przez części.

[Piotrox]

Dzięki za pomoc napisze tu jeszcze gdyby coś nie wychodziło

[a4karo]

\(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{e}\ln x dx = \int_0^1 txdt}\)

To niestety jest horror.

[Premislav]

Oj tam, oj tam. Powinno być \(\displaystyle{ x(t)}\) i byłoby w miarę OK, choć bardzo niezgrabnie.

Swoją drogą to chore, że ktoś narzuca metodę rozwiązywania zadania i to jeszcze taką, która de facto nie prowadzi do rozwiązania zadania, bo i tak trzeba prędzej czy później scałkować przez części (chyba że rozwiązujący spróbuje rozwinąć w szereg potęgowy \(\displaystyle{ e^t}\) i scałkuje wyraz po wyrazie ). Młodzi i zapalczywi powiedzą So eine Frechheit! bądź nawet Sic transit gloria mundi, zgorzkniali, zrezygnowani i doświadczeni podobnymi pokazami nierozwagi - coś w stylu Nihil novi sub sole.

[Dreeze]

To niestety jest horror.

Myślę, że próbuje się Pan czepiać na siłę .

Przecież nie podałem wyniku w postaci:

\(\displaystyle{ \left.x\left(\frac{t^2}{2}\right)\right\vert_0^1}\)

Napisałem w kolejnej linijce, że \(\displaystyle{ x}\) należy się pozbyć. Nie spodziewałbym się, że komuś przyjdzie do głowy potraktowanie \(\displaystyle{ x}\) jako zmiennej.

[mortan517]

Dreeze, niestety czepianie się tutaj jest słuszne, gdyż podstawienie połowy zmiennych i zostawienie dwóch jest błędem merytorycznym. U mnie było zerowane zadanie za coś takiego.

[Piotrox]

Słuchajcie jest mały problem spojrzałem na zadanie do książki i tam całka miała postać \(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{e}\ln x}\) nie było na końcu \(\displaystyle{ dx}\) więc teraz już nie wiem jak to będzie i czy to nie jest może błąd w druku? Bo znalazłem jeszcze jeden przykład bez \(\displaystyle{ dx}\).

[Dreeze]

Błąd w druku, musimy wiedzieć po jakiej zmiennej całkujemy przecież .

[Piotrox]

Właśnie też mi się tak wydaje zaniepokoiło mnie bo w starszej wersji książki są dwa przykłady bez dx ale w nowszej już są z dx i nie byłem pewien.

[AdamL]

Słuchajcie jest mały problem spojrzałem na zadanie do książki i tam całka miała postać \(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{e}lnx}\) nie było na końcu dx więc teraz już nie wiem jak to będzie i czy to nie jest może błąd w druku? Bo znalazłem jeszcze jeden przykład bez dx.

Warto wiedzieć, że dx to przyrost x, w fizyce takie dx ma przecież jakiś wymiar (cm, m, sek, cokolwiek), a calka to suma. Inaczej w cudowny sposób by sie m/s^2 zamieniały w m/s (całka z przyspieszenia po czasie to predkosc). Pisze to, gdyż niektórzy traktują to tylko i wyłącznie jako symbol 'zamykający' całkę

[Mariusz M]

AdamL, no i właśnie ten wymiar sprawia że np licząc całkę podwójną z jedynki liczymy objętość
bryły o wysokości jednostkowej zamiast pola

Narzucanie metody nie jest złe zwłaszcza podczas uczenia jedyne co można zarzucić to
narzucanie nieskutecznej metody

[AdamL]

AdamL, no i właśnie ten wymiar sprawia że np licząc całkę podwójną z jedynki liczymy objętość
bryły o wysokości jednostkowej zamiast pola

Narzucanie metody nie jest złe zwłaszcza podczas uczenia jedyne co można zarzucić to
narzucanie nieskutecznej metody

Przepraszam, że odkopuję stary temat, ale skąd takie rewelacje? Oczywiście można naciągnąć taką interpretację (całka po 3-ciej zmiennej w granicach 'generuje' nam funkcję stałą, stale równą \(\displaystyle{ 1}\)). Bardziej naturalnym sposobem na interpretacje całki podwójnej \(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} f(x,y)dxdy}\), a funkcja \(\displaystyle{ f(x,y)}\) jest jakby gęstością elementu masy tej powierzchni (oczywiście na upartego można powiedzieć, że ta funkcja pochodzi od całki po 3ciej zmiennej i 'zadaje nam np wysokość słupa np. powietrza nad elementem \(\displaystyle{ dxdy}\)).
Abstrahując od tego, że za pomocą takiej całki właśnie liczymy pole - nawet wymiar się zgadza (funkcja \(\displaystyle{ = 1}\) jest niemianowana,\(\displaystyle{ dx}\) jest w jednostce odległości, \(\displaystyle{ dy}\) też w tej jednostce)

...ale oczywiście mogę się mylić - dobrze, żeby ta wątpliwość została rozwiana, żeby ktoś kto wejdzie w ten temat nie uzyskał błędnej pomocy