Całka z pierwiastkiem

[Piotrox]

Witam mam problem z policzeniem następującej całki \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}\sqrt{1+4x^2} dx}\). Postanowiłem zastosować podstawienie Eulera czyli zrobiłem coś takiego: \(\displaystyle{ t-2x=\sqrt{1+4x^2}}\) co ostatecznie dało \(\displaystyle{ x=\frac{1-t^2}{-2t}}\) następnie policzyłem pochodną czyli \(\displaystyle{ dx=\frac{t^2+1}{2t^2}}\). Obliczyłem jeszcze że \(\displaystyle{ t-2x=\frac{t^2+1}{2t}}\). Podstawiłem do całki:\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}\frac{t^2+1}{2t}\cdot\frac{t^2+1}{2t^2}=\int\limits_{0}^{1}\frac{t^4+2t^2+1}{4t^3}}\). Nie wiem czy jest dobrze do tego momentu zdarza mi się "zgubić" minusa i coś do końca nie jestem pewien czy to coś takiego. Proszę o pomoc w dokończeniu rozwiązania tej całki.

[janusz47]

\(\displaystyle{ x = \frac{t^2 -1}{4t}, \ \ dx = \frac{t^2+1}{4t^2}dt, \ \ t = \sqrt{1+4x^2}+2x.}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\sqrt{1+4x^2}dx =\frac{1}{8} \int_{1}^{\sqrt{5}+2}\frac{(t^2+1)^2}{t^3}dt.}\)

Rozpisujemy kwadrat dwumianu w liczniku i dzieląc przez mianownik - przedstawiamy funkcję podcałkową w postaci sumy trzech składników, z których każda całka jest całką elementarną.

[Piotrox]

A tam nie będzie czasami \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\sqrt{1+4x^2}dx =\frac{1}{8} \int_{1}^{\sqrt{5}+2}\frac{({\red t^4}+1)^2}{t^3}dt.}\) ?

[janusz47]

Nie.

\(\displaystyle{ \sqrt{1- 4x^2}= t - 2x = t - \frac{2(t^2 -1)}{4t} = t - \frac{t^2-1}{2t}= \frac{2t^2 -t^2 +1}{2t}=\frac{t^2+1}{2t}.}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{t^2 -1}{4t}.}\)

\(\displaystyle{ dx = \frac{2t\cdot 4t -(t^2-1)\cdot 4}{16t^2}dt = \frac{8t^2 -4t^2+4}{16t^2}dt = \frac{4t^2+4}{16t^2}dt= \frac{t^2+1}{4t^2}dt.}\)

Funkcja podcałkowa :

\(\displaystyle{ f(t) dt = \frac{t^2+1}{2t}\cdot \frac{t^2+1}{4t^2}dt =\frac{(t^2+1)^2}{8t^3}dt.}\)

[Piotrox]

To teraz dalej mam tak: \(\displaystyle{ f(t) dt = \frac{t^2+1}{2t}\cdot \frac{t^2+1}{4t^2}dt =\frac{(t^2+1)^2}{8t^3}dt=\frac{1}{8}(t+\frac{1}{t}+\frac{1}{t^3})}\)

Po całkowaniu wygląda to u mnie tak: \(\displaystyle{ \frac{1}{8}[\frac{t^2}{2}+ln|t|-\frac{1}{2t^2}]_{1}^{\sqrt{5}+2}}\)

[janusz47]

Tak jest.-- 30 maja 2017, o 21:18 --Tylko dopisz do funkcji podcałkowej \(\displaystyle{ f}\) całkę oznaczoną.

[Piotrox]

Na razie mam coś takiego: \(\displaystyle{ int_{0}^{1}sqrt{1+4x^2}dx =frac{1}{8} int_{1}^{sqrt{5}+2}frac{(t^2+1)^2}{t^3}dt.=frac{1}{8}[frac{t^2}{2}+ln|t|-frac{1}{2t^2}]_{1}^{sqrt{5}+2}= frac{1}{8}[(frac{9}{2}+ln|sqrt{5}+2|-frac{1}{18}) -(...)}\)
Dalej wychodzą jakieś cuda co się nawet ostatecznie nie zgodzi z wolframem np. nie mogę dopatrzyć się gdzie jest jakiś błąd...

[janusz47]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\sqrt{1 +4x^4}dx = \frac{1}{8} \left[ \frac{t^2}{2} +2\ln(t) - \frac{1}{2t^2}\right]_{1}^{\sqrt{5}+2}.}\)

Podstawiamy górną i dolną granicę całkowania(nie powtarzamy symbolu całki):

\(\displaystyle{ \frac{1}{8}\left[ \frac{(\sqrt{5}+2)^2}{2} +2\ln(\sqrt{5}+2) -\frac{1}{2(\sqrt{5}+2)^2}-\frac{1}{2} - 2\ln(1)+\frac{1}{2}\right]=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{1}{8}\left[ \frac{(\sqrt{5}+2)^4-1}{2(\sqrt{5}+2)^2}+ 2\ln(\sqrt{5}+2)\right]=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{1}{8}\left[ \frac{\sqrt{5}^4+4\sqrt{5}^3\cdot 2 + 6\sqrt{5}^2\cdot 2^2 +4\sqrt{5}\cdot 2^3 + 2^4 -1}{2(5 + 4\sqrt{5} +4)} +2\ln(\sqrt{5}+2)\right]=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{1}{8}\left[ \frac{25 + 40\sqrt{5}+ 120 +32\sqrt{5}+16 -1}{2(9 + 4\sqrt{5})}\right]=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{1}{8}\left[ \frac{160 +72\sqrt{5}}{18 +8\sqrt{5}}+ 2\ln(\sqrt{5}+2)\right]=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{1}{8} \left[ \frac{(160+72\sqrt{5})(18 -8\sqrt{5})}{18^2 -(8\sqrt{5})^2}+ 2\ln(\sqrt{5}+2)\right]=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{1}{8}\left[ \frac{2880 -1280\sqrt{5}+1296\sqrt{5}-2880}{4} +2\ln(\sqrt{5}+2)\right]=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{1}{8}\left[ \frac{16\sqrt{5}}{4} +2\ln(\sqrt{5}+2)\right]=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{1}{8}\left[ 4\sqrt{5} +2\ln(\sqrt{5}+2)\right] \approx 1,4789.}\)

Proszę nauczyć się działań na liczbach i wzorów skróconego mnożenia, wtedy nie będą wychodziły cuda i wszystko zgodzi się z Wolframem.

[Piotrox]

Dziękuje za tak szeroką pomoc mimo że łatwo nie było bynajmniej jak dla mnie to dowiedziałem się czegoś nowego(w kontekście całek). W odpowiedziach podręcznika spotkałem inną odpowiedź jednak jak się okazało była ona dobra ale na przedziale od 0 do 2 co wynikało z błędu w druku prawdopodobnie.