[MIX] zestaw ciekawych zadań

[rodzyn7773]

Kilka moim zdaniem ciekawych zadań z pewnej książki. Nie są może na bardzo wysokim poziomie ale mam nadzieję, że kogoś zainteresują.

1) Do ponumerowania stronic pewnej książki użyto 6289 cyfr. Ile stronic ma ta książka?

2)Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2+ \sqrt{5} } + \sqrt[3]{2- \sqrt{5} } =1}\)

3)Ułóż równanie kwadratowe, którego pierwiastkami są sześciany pierwiastków równania
\(\displaystyle{ ax^2+bx+c=0}\).

4)Ułóż równanie kwadratowe, którego pierwiastkami są odwrotności pierwiastków równania
\(\displaystyle{ ax^2+bx+c=0}\) (a i c różne od 0 ).

5)Dla jakich wartości parametru a równanie
\(\displaystyle{ \frac{x}{a}+ \frac{a}{x} = \frac{1}{ax} +2}\)
ma 2 pierwiastki spełniające nierówność
\(\displaystyle{ \frac{1}{x_1}+ \frac{1}{x_2}>4}\) ?

6)Udowodnij, że jeżeli równanie \(\displaystyle{ x^3+px+q=0}\) ma pierwiastek podwójny to
\(\displaystyle{ ( \frac{p}{3} )^3+( \frac{q}{2} )^2=0}\)

7)Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ 68x^8-257x^6-257x^2+68=0}\)

8)Niech \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\) będą pierwiastkami równania
\(\displaystyle{ x^2+kx+1=0}\).
Znajdź wszystkie wartości k, dla których:
\(\displaystyle{ ( \frac{x_1}{x_2})^2+ ( \frac{x_2}{x_1})^2>1}\).

9)Udowodnij indukcyjnie, że
\(\displaystyle{ 1*1!+2*2!+3*3!+...+n*n!=(n+1)!-1}\).

10)Wiadomo, że w pewnym ciągu arytmetycznym
\(\displaystyle{ \frac{S_m}{S_n}=( \frac{m}{n} )^2}\).
Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \frac{a_m}{a_n}= \frac{2m-1}{2n-1}}\) .

11)W kwadracie o boku a połączono środki sąsiednich boków. W powstałym kwadracie połączono znów środki sąsiednich boków itd. Oblicz sumę obwodów utworzonych w ten sposób kwadratów.

12)Załóżmy, że \(\displaystyle{ f(x)=( \frac{1}{4} )^x}\).
Dla jakich m równanie
\(\displaystyle{ |f(x+1)-3|=m}\)
ma 2 rozwiązania, które są liczbami przeciwnymi.

[mol_ksiazkowy]

ad 2
wsk \(\displaystyle{ \frac{1+\sqrt{5}}{2} + \frac{1-\sqrt{5}}{2}=1}\)

[kumnopek1]

6)Udowodnij, że jeżeli równanie \(\displaystyle{ x^3+px+q=0}\) ma pierwiastek podwójny to
\(\displaystyle{ ( \frac{p}{3} )^3+( \frac{q}{2} )^2=0}\)

wskazówka:

Ukryta treść:    

skoro k jest pierwiastkiem podwójnym to podziel podany wielomian przez (x-a)^2 = (x-2a+a^2)

7)Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ 68x^8-257x^6-257x^2+68=0}\)

wskazówka 1:

Ukryta treść:    

podziel przez 68

wskazówka 2:

Ukryta treść:    

podziel przez x^2 i pogrupuj

wskazówka 3:

Ukryta treść:    

podstaw

[Kamil S]

5) \(\displaystyle{ \frac{x}{a} + \frac{a}{x} = \frac{1}{ax} + 2}\)

\(\displaystyle{ \frac{ x^{2}+ a^{2} }{ax} - \frac{1}{ax} - 2 = 0}\) Mnożymy przez ax

\(\displaystyle{ x^{2} a^{2} - 1 - 2ax = 0}\) Łatwo zauważyć wzór skróconego mnożenia.

\(\displaystyle{ (x-a)^{2} - 1 = 0}\)

1) liczymy ile cyfr użyto do ponumerowania od
a) 0-9
b) 10-99
c) 100-999
d) 1000-9999
w a) otrzymujemy 10 w b) 2 cdot 89 w c) 899 cdot 3 a w d) 4 cdot 8999 cyfr.
Można zauważyć, że w d) dostaniemy więcej cyfr niż jest użyte, więc bierzmy ilość wszystkich cyfr odejmujemy od niej sumę a) b) c) otrzymamy liczbę cyfr użytych do liczb 4-cyfrowych. Dzielimy to przez 4, otrzymamy ilość stron których numer jest czterocyfrowy. W a) b) c) otrzymamy razem 1000 stron trzeba tylko dodaj ilość liczb 4-cyfrowych.