wpisanie okręgu w trójkąt

[Pin93]

Witam, potrzebuję wpisać okrąg w trójkąt o następujących współrzędnych oraz określić punkty styku okręgu z krawędzią i promień:

A = \(\displaystyle{ (1.5;-1)}\)
B = \(\displaystyle{ (2.5;-1)}\)
C = \(\displaystyle{ (\frac{13}{6}}\); \(\displaystyle{ \frac{1}{3})}\)

[Ania221]

Środek okręgu wpisanego leży na przecięciu dwusiecznych kątów trójkąta.
Promień okręgu można wyliczyć za wzoru na pole trójkąta w zależności od promienia okręgu wpisanego.
Mając współrzędne środka i długość promienia, punkty styczności obliczyłabym z Pitagorasa.

[Pin93]

Nie wiem jak wyznaczyć te dwusieczne w inny sposób niż rysując linie, muszę to zrobić analitycznie, bo potrzebuje dokładności do wielu miejsc po przecinku

[MalinaZMelonami]

Współrzędne środka okręgu to w przybliżeniu \(\displaystyle{ (2.05817; -0.655031)}\), a promień \(\displaystyle{ \approx 0.344969}\)
Obliczyłem przy pomocy .

[Pin93]

dzięki śliczne

[Dilectus]

muszę to zrobić analitycznie

Możesz znaleźć równania dwóch dwusiecznych. W miejscu ich przecięcia będzie środek okręgu. Obliczenia są dość żmudne. Musisz najpierw znaleźć równania prostych przechodzących przez p-kty \(\displaystyle{ A,\ C}\) i \(\displaystyle{ B, \ C}\)
Ich współczynniki kierunkowe są tangensami kątów ich nachylenia.
Teraz musisz znaleźć tangensy kątów nachylenia dwusiecznych odpowiednich kątów, a z tym poradzisz sobie, stosując znaną tożsamość trygonometryczną:

\(\displaystyle{ \tg x={\frac {2{\mbox{tg}}{\frac {x}{2}}}{1-{\mbox{tg}}^{2}{\frac {x}{2}}}}}\)

A jak już masz te tangensy dwusiecznych, to z łatwością napiszesz równania tych prostych. A potem znajdź ich punkt przecięcia. Będzie to środek szukanego okręgu.

[kruszewski]

Podpowiem takim szkicem. O promieniu napisała już p. Ania221
Przyjmując wygodną do rachunków długość promienia kolorowego kręgu znajdujemy punkty wspólne dla okręgu i prostych w których leżą boki a stąd równania cięciw do których prostopadłe z przynależnym do nich wierzchołkiem są poszukiwanymi dwusiecznymi.
Rachunki są na liczbach całkowitych, ale jest ich sporo. Wynik może być dokładniejszy niż przy posłużeniu się wzorem:

\(\displaystyle{ tg x={\frac {2{\mbox{tg}}{\frac {x}{2}}}{1-{\mbox{tg}}^{2}{\frac {x}{2}}}}}\)