Największa i najmniejsza wartość funkcji na podanym zbiorze

[sarevok37]

\(\displaystyle{ f \left( x,y \right) = x ^{2} + 2y ^{2} - x \\
A = \left\{ \left( x,y \right) \in \RR ^{2}: x ^{2} + y ^{2} \le 1, y \ge 0 \right\}}\)

wiem że mają wyjść 4 punkty do porównania, jednak nie wiem skąd
Z równania funkcji otrzymałem jedynie punkt stacjonarny\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2},0 \right)}\)

czy pozostałe 3 liczy się w jakiś sposób czy po prostu wynikają one z obserwacji zbioru \(\displaystyle{ A}\)
(pozostałe punkty to:\(\displaystyle{ \left( -1,0 \right) , \left( 0,1 \right) , \left( \frac{-1}{2} , \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)}\)

[AloneAngel]

Zadanie to rozbija się na dwa przypadki - znalezienie ekstremów we wnętrzu zbioru (czyli klasycznym szukaniem ekstremów funkcji wielu zmiennych) plus znalezienie ekstremów na brzegu. Najlepiej użyć do tego metody mnożników Lagrange'a.

[Premislav]

Można też na poziomie gimnazjum:
\(\displaystyle{ x^2+2y^2-x=\left( x-\frac 1 2\right)^2+2y^2-\frac 1 4 \ge -\frac 1 4}\)
i równość zachodzi gdy \(\displaystyle{ x=\frac 1 2, y=0}\). Punkt \(\displaystyle{ \left( \frac 1 2, 0\right)}\) należy do rozważanego zbioru \(\displaystyle{ A}\).
Ponadto gdy \(\displaystyle{ x^2+y^2 \le 1}\), to
\(\displaystyle{ x^2+2y^2-x=2(x^2+y^2)-x^2-x=2(x^2+y^2)-\left( x+\frac 1 2\right)^2+\frac 1 4 \le 2-0+\frac 1 4= \frac{9}{4}}\)
i równość zachodzi w punkcie \(\displaystyle{ \left( -\frac 1 2, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}\).

-- 26 maja 2017, o 16:04 --

Oczywiście to rozwiązanie jest dość mało uniwersalne, lepiej jednak znać ogólny schemat, którego zarys przedstawił AloneAngel, gdyż nie zawsze tak się da oszacować.