prosta całka nieoznaczona

[ooolllaaa8883]

Mam całkę:
\(\displaystyle{ \int \sqrt[5]{2 ^{x}}dx}\)
Rozwiązaniem jest:
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt[5]{2 ^{x}} }{ln \sqrt[5]{2} } +c}\)
Niestety próbuję policzyć pochodną (zrobić sprawdzenie) i nie wychodzi. Czy jest tutaj błąd czy ja nie potrafię policzyć pochodnej rozwiązania?

[dec1]

To drugie, pokaż jak liczysz

[ooolllaaa8883]

\(\displaystyle{ \left( \frac{ \sqrt[5]{2 ^{x}} }{ln \sqrt[5]{2} } +c \right)'= \frac{ \sqrt[5]{ 2^{x}}*ln \sqrt[5]{2}*ln \sqrt[5]{2}- \sqrt[5]{ 2^{x} }* \frac{1}{ \sqrt[5]{2} } }{ln ^{2} \sqrt[5]{2} }}\)

[Premislav]

Dwie sprawy:
1. Błędna równość funkcji i tego, co uważasz za pochodną funkcji - tak nie wolno pisać! To jest prawda tylko dla funkcji postaci \(\displaystyle{ c \cdot e^x}\) dla stałej \(\displaystyle{ c \in \RR}\). Ja bym od razu dał zero za całe zadanie, gdybym coś takiego zobaczył.
2. To, co masz w mianowniku, to jest stała, więc niepoprawne jest tu użycie wzoru na pochodną ilorazu. Przecież zmienną jest \(\displaystyle{ x}\)...
Ogólnie dla dowolnej stałej \(\displaystyle{ c}\) mamy
\(\displaystyle{ \left( c \cdot f(x)\right)'=c \cdot f'(x)}\)

[ooolllaaa8883]

Dziękuję! Zapomnialam dopisać tej pochodnej
Mam też do policzenia całkę:
\(\displaystyle{ \int \frac{ x^{3} dx}{ \sqrt{1-x ^{8} } }}\)
Ma ktoś pomysł jak się za to zabrać?
Dopiero zaczynam z całkami Może \(\displaystyle{ 1-x ^{8}=t}\) ?

[Premislav]

Jas bym podstawił \(\displaystyle{ x^4=t}\), wówczas \(\displaystyle{ \dd t=4x^3 \,\dd x}\)
i dostajesz
\(\displaystyle{ \frac 1 4 \int_{}^{} \frac{\dd t}{\sqrt{1-t^2}}}\)
a tutaj funkcja podcałkowa to pochodna funkcji \(\displaystyle{ \arcsin t.}\)

[ooolllaaa8883]

a co zrobić z tymi całkami?
\(\displaystyle{ \int ctg ^{2}x dx}\)
\(\displaystyle{ \int sin ^{2} \frac{x}{2} dx}\)

[Premislav]

Pierwsza: rozpisz
\(\displaystyle{ \ctg^2 x= \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}= \frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x}}\),
rozbij na dwie całki (w jednej masz minus pochodną kotangensa, tj. \(\displaystyle{ (\ctg x)'=-\frac{1}{\sin^2 x}}\)).
Druga: \(\displaystyle{ \sin^2 \frac x 2= \frac{1-\cos x}{2}}\)

[ooolllaaa8883]

jak obliczyć tą całkę:
\(\displaystyle{ \int e ^{2x}\sin x dx}\) ?

[a4karo]

Podobne przykłady znajdziesz w każdym podręczniku. Popracuj trochę sama

[Premislav]

Dwa razy scałkuj przez części. Najpierw tak:
\(\displaystyle{ int_{}^{} e^{2x} sin x ,dd x= int_{}^{} left( frac 1 2 e^{2x}
ight)' sin x ,dd x=dots}\)
a potem jeszcze raz podobnie. Otrzymasz w ten sposób równanie na tę całkę. Tu masz podobny przykład:
114231.htm#p418054
Szczegóły obliczeniowe trochę inne, zasada ta sama.

[ooolllaaa8883]

Udało się rozwiązać, mam jeszcze jedną całkę do policzenia:
\(\displaystyle{ \int \frac{ x^{2}dx }{ \sqrt{1-x ^{6} } }}\)
za tą nawet nie wiem jak się zabrać

[Premislav]

\(\displaystyle{ \int \frac{ x^{2}dx }{ \sqrt{1-x ^{6} } }= \bigg|u=x^3\bigg|=\frac 1 3 \int_{}^{} \frac{\dd u}{ \sqrt{1-u^2} }}\)
i całkuj do arcusa sinusa...

[ooolllaaa8883]

Jeszcze jedna całka:
\(\displaystyle{ \int \frac{x+2}{x ^{2}+4x+3 }}\)
Próbowałam całkować przez części i nie wychodziło mi nic z tego.

[AloneAngel]

Zrobić rozkład na ułamki proste

\(\displaystyle{ \frac{x+2}{x^2+4x+3} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x+1}}\)

lub zrobić podstawienie \(\displaystyle{ u = x^2+4x+3}\).