Asymptoty funkcji

[BigPaws]

Bardzo prosze o sprawdzenie, czy to co zrobiłem jest poprawnie:

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{x^2}{2x+3}}\)

Dziedzina: \(\displaystyle{ x: (- \infty , - \frac{3}{2}) \cup ( -\frac{3}{2}, \infty)}\)

Licze pionowe:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to- \frac{3}{2} L } \frac{x^2}{2x+3} = -\infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to- \frac{3}{2} P } \frac{x^2}{2x+3} = \infty}\)

Odp: x= -1.5 jest równaniem asymptoty pionowej obustronnej.

Licze ukośne:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to\infty } \frac{x^2}{2x+3} * \frac{1}{x} = \frac{x}{2x+3} = \frac{x}{2x(1+ \frac{3}{2x} } = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to\infty } \frac{x^2}{2x+3} + \frac{1}{2}x =\frac{x^2}{2x+3} + \frac{0.5x(2x+3)}{2x+3} = \frac{x^2}{2x+3} + \frac{x^2+1.5x}{2x+3} = \frac{2x^2+1.5x}{2x+3} = \frac{2x^2+1.5x}{2x(1+ \frac{3}{2x}) } = \infty}\)

I tu się zgubiłem, ale to chyba znaczy, że asymptota ukośna nie istnieje, skoro jeden z wyników wyszedł nieskończonośc, prawda? Czy może mam błąd w rachunkach?

[AloneAngel]

Pomyliłeś nieco znak, powinna być granica z \(\displaystyle{ \frac{x^2}{2x+3} - \frac{1}{2}x}\). Nie zapomnij również policzyć granicy w \(\displaystyle{ + \infty}\).

[BigPaws]

No tak, to przez ten znak działanie się dziwnie skomplikowało, typowe. Po poprawie:
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{2x+3} - \frac{1}{2}x = \frac{3}{4}}\).

Zatem \(\displaystyle{ y= \frac{1}{2}x +\frac{3}{4}}\) jest równaniem asymptoty ukośnej przy \(\displaystyle{ \infty}\)

Czy teraz dobrze? Wydaje mi się, że tak.

[AloneAngel]

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{2x+3} - \frac{1}{2}x = \frac{3}{4}}\).

Unikajmy takich zapisów, bo są bardzo brzydkie! Ta granica wynosi jednak \(\displaystyle{ - \frac{3}{4}}\). ^^ Wtedy prosta \(\displaystyle{ y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{4}}\) jest asymptotą ukośną w \(\displaystyle{ + \infty}\) .

[BigPaws]

Popłacze się z moimi znakami... Dziękuję