Oblicz
\(\displaystyle{ \underbrace{2^{2^{.^{.^{.{2}}}}}}_{2017} \mod 2017}\)
[Teoria liczb] Reszta z dzielenia
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
arek1357
Re: [Teoria liczb] Reszta z dzielenia
Weźmy ciąg:
\(\displaystyle{ a_{1}=1, a_{2}=2, a_{3}=2^2=4, a_{4}=2^{2^2},...}\)
ogólnie:
\(\displaystyle{ a_{n+1}=2^{a_{n}} \mod 2017}\)
Znajdziemy okres tego ciągu:, kolejne wyrazy to:
\(\displaystyle{ 1, 2, 4, 16, 992,1039, 1901, 541, 1373, 1988, 765, 262, 1493, 1635, 1077, 1867, 132, 1234, 1176, 2016, 1, 2,...}\)
Czyli długość okresu wynosi 20...
Dalej już sam policzysz...
Ciekawe jest tu tyle, że:
\(\displaystyle{ 2^{2016}=1}\)
co ma związek z rokiem 2016 stanowi kres okresu czego należało się domyśleć...
\(\displaystyle{ a_{1}=1, a_{2}=2, a_{3}=2^2=4, a_{4}=2^{2^2},...}\)
ogólnie:
\(\displaystyle{ a_{n+1}=2^{a_{n}} \mod 2017}\)
Znajdziemy okres tego ciągu:, kolejne wyrazy to:
\(\displaystyle{ 1, 2, 4, 16, 992,1039, 1901, 541, 1373, 1988, 765, 262, 1493, 1635, 1077, 1867, 132, 1234, 1176, 2016, 1, 2,...}\)
Czyli długość okresu wynosi 20...
Dalej już sam policzysz...
Ciekawe jest tu tyle, że:
\(\displaystyle{ 2^{2016}=1}\)
co ma związek z rokiem 2016 stanowi kres okresu czego należało się domyśleć...
-
timon92
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 485 razy
Re: [Teoria liczb] Reszta z dzielenia
arek1357, to jest niepoprawnie, próbujesz korzystać z czegoś takiego: jeśli \(\displaystyle{ x \equiv y \pmod{2017}}\), to \(\displaystyle{ 2^x \equiv 2^y \pmod{2017}}\), a to niestety nie jest prawda
-
arek1357
Re: [Teoria liczb] Reszta z dzielenia
No tak masz racje w sumie się zasugerowałem i ładnie szło...
Kłania się małe twierdzenie Fermata...
Drobna korekta:
\(\displaystyle{ a_{n+1}=2^{a_{n}} (mod) 2016}\)
bo:
\(\displaystyle{ 2^{2016}=1 \mod 2017}\)
kolejne wyrazy to:
\(\displaystyle{ 1, 2, 4 16, 1024, 1024, 1024...}\)
tam powinno być:
\(\displaystyle{ 2^{2016}=1}\)
\(\displaystyle{ 2^{\alpha \cdot 2016+r}=2^r}\)
ostatnie:
\(\displaystyle{ 2^{1024}=992 \mod 2017}\)
Kłania się małe twierdzenie Fermata...
Drobna korekta:
\(\displaystyle{ a_{n+1}=2^{a_{n}} (mod) 2016}\)
bo:
\(\displaystyle{ 2^{2016}=1 \mod 2017}\)
kolejne wyrazy to:
\(\displaystyle{ 1, 2, 4 16, 1024, 1024, 1024...}\)
tam powinno być:
\(\displaystyle{ 2^{2016}=1}\)
\(\displaystyle{ 2^{\alpha \cdot 2016+r}=2^r}\)
ostatnie:
\(\displaystyle{ 2^{1024}=992 \mod 2017}\)