normy równoważne

[agusiaczarna22]

Sprawdź czy podane normy \(\displaystyle{ \parallel \cdot \parallel _1, \parallel \cdot \parallel _2}\) są równoważne?:
\(\displaystyle{ \parallel \left\{ x_k\right\} \parallel _1=\sup _{k \in \mathbb{N}} \begin{vmatrix} x_k \end{vmatrix}+ \lim_{k\to \infty }\begin{vmatrix} x_k \end{vmatrix} ,
\parallel \left\{ xk \right\} \parallel _2=2 \cdot \sup _{k \in \mathbb{N}} \begin{vmatrix} x_k \end{vmatrix}}\) w C.

i mam następującą definicję: X- przestrzeń linowa,
\(\displaystyle{ \parallel \cdot \parallel _1,\parallel \cdot \parallel _2}\) to normy w X,
-normy te są równoważne\(\displaystyle{ \iff \forall_{(x_n)\subset X} \forall_{x\in X} [\parallel x_n-x \parallel_1 \rightarrow 0 \iff \parallel x_n-x \parallel_2\rightarrow 0]}\)
-normy te są rownoważne \(\displaystyle{ \iff \exists_{C_1, C_2>0} \forall_{x\in X} C_1\parallel x \parallel _1 \le \parallel x \parallel _2\le C_2 \parallel x \parallel _2}\)

[PiotrowskiW]

Jeżeli ta granica istnieje, to:
\(\displaystyle{ \lim_{k\to \infty }\begin{vmatrix} x_k \end{vmatrix} =\sup _{k \ge 0} \inf _{n \ge k } \left| x_n\right| \ge 0}\)
Chciałem napisać: granica jest równa granicy dolnej, a ta jest nieujemna, zatem:
\(\displaystyle{ \parallel x \parallel _2 \le 2 \cdot \parallel x \parallel _1}\)