Sprawdzian z trygonometrii

[sappur]

1.Oblicz
a)\(\displaystyle{ \frac{\sin 405 \cdot \ctg 150}{\cos 180 \cdot \tg 210}}\)
b)\(\displaystyle{ \sin\frac{11}{5}x \cdot \cos\frac{3}{10}x - \cos \left( - \frac{ \pi }{5} \right) \cdot \sin \left( - \frac{7}{5}x \right)}\)

2.
Oblicz \(\displaystyle{ \cos \alpha}\), wiedząc, że \(\displaystyle{ \sin \alpha = - \frac{3}{5}}\) i \(\displaystyle{ \tg \alpha > 0}\).

3.
Zaznacz w układzie współrzędnych kąt \(\displaystyle{ \alpha \in (720;900)}\), którego końcowe ramię zawiera się w prostej o równaniu \(\displaystyle{ 3x+2y=0}\). Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta \(\displaystyle{ \alpha}\)

4.
Rozwiąż.
a) \(\displaystyle{ 3 \tg x> \sqrt{3}}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)}\)

b) \(\displaystyle{ 3 \sin x = 2 \cos ^{2}x}\)

5.
Udowodnij tożsamość trygonometryczną \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{1+\cos x} = \frac{1-\cos x}{\sin x}}\)

6.
Udowodnij, że wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{\sin x+\tg x}{\cos x+\ctg x}}\) w swojej dziedzinie przyjmuje tylko wartości dodatnie.


Liczę na Waszą pomoc.

Witam, czy moglby ktos wytlumaczyc zadanie 3 i 6?

[kerajs]

3.
Zaznacz w układzie współrzędnych kąt \(\displaystyle{ \alpha \in (720;900)}\), którego końcowe ramię zawiera się w prostej o równaniu \(\displaystyle{ 3x+2y=0}\). Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta \(\displaystyle{ \alpha}\)

Rysujesz prostą \(\displaystyle{ y= \frac{-3}{2}y}\). Od dodatniej półosi OX do fragmentu prostej leżącego w II ćwiartce zaznaczasz kąt (dwa pełne obroty i kawałek).
\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{-3}{2} \\
\ctg \alpha =\frac{-2}{3}\\
\sin \alpha = \frac{3}{ \sqrt{13} } \\
\cos \alpha = \frac{-2}{ \sqrt{13} }}\)

6.
Udowodnij, że wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{\sin x+\tg x}{\cos x+\ctg x}}\) w swojej dziedzinie przyjmuje tylko wartości dodatnie.

\(\displaystyle{ x \neq k \frac{ \pi }{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin x+\tg x}{\cos x+\ctg x}= \frac{\sin x (1+ \frac{1}{\cos x}) }{\cos x (1+ \frac{1}{\sin x})}=\frac{\sin^2 x (1+ \cos x) }{\cos^2 x (1+ \sin x)}>0}\)

[sappur]

Moglbys jeszcze pomoc w pierwszym? Umiem wzory redukcyjne ale jak juz podstawie wartości to w ktoryms momencie sie zamykam i nie wiem co dalej - patrzac na wynik zawsze wychodzi coś innego.

[a4karo]

To pokaz jak podstawiasz. Poprawimy jak będzie źle

[sappur]

a) \(\displaystyle{ \frac{ \frac{ \sqrt{2} }{2} \sqrt{3} } {-1 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{3} }}\)

Koncze na czyms takim, wymnażam i często gubie się w jakimś działaniu i skraczam z poprawnej scieżki

przyklad B robilem w szkole i jest poprawne

[a4karo]

\(\displaystyle{ \ctg 150^\circ}\) chyba źle?? No to wymnażaj po kolei

[sappur]

No dalem cos takiego do tego ctg

\(\displaystyle{ \ctg 150^\circ = \ctg (180-30)^\circ = \ctg -30^\circ = - \sqrt{3}}\)

Wydaje mi sie, że ten ctg jest dobrze - nadal wychodzi mi zle mnozenie - nie wiem gdzie popelniam blad

[a4karo]

Minus Ci gdzies zginął. Napisz jak mnożysz, inaczej nikt nie zgadnie gdzie robisz błąd. I waźne - skąd wiesz, że masz źle?

[sappur]

Minus Ci gdzies zginął. Napisz jak mnożysz, inaczej nikt nie zgadnie gdzie robisz błąd. I waźne - skąd wiesz, że masz źle?

Patrzac na rozwiazania innych

Dochodze potem do:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{ -\sqrt{6} }{2}}{ -\frac{ \sqrt{3} }{3} }}\)

Po tym mnoże przez odwrotność i koncze na:

\(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt{6} }{-2 \sqrt{3} }}\)

[a4karo]

No i znów jakiś minus Ci zginął. Poza tym jest OK, tylko to wyrażenie można jeszcze uproscić.

[sappur]

Nie wiem jak to uproscic, nie mozna skracac pierwiastkow

[Jan Kraszewski]

nie mozna skracac pierwiastkow

A kto zakazał?

\(\displaystyle{ \sqrt{6} =\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}\)

JK

[sappur]

nie mozna skracac pierwiastkow

A kto zakazał?

\(\displaystyle{ \sqrt{6} =\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}\)

JK

Hurr, to calą matematyke bylem nauczony ze nie mozna albo zle uslyszlame, jesli da sie to przepraszam i dziekuje

[a4karo]

Zabawne, że "byleś nauczony" a nie pomyślałeś sam
Czyżby
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{4}}\neq 2}\) ??

[sappur]

To jeszcze jedno pytanie, mam za zadanie naszkicować wykres \(\displaystyle{ y=2\sin x|\cos x|}\)
Rysuje wiec \(\displaystyle{ y=\sin 2x\ (2\sin x\cos x=\sin 2x)}\)
Problem jest, że mam uwzględnić 2 przypadki - czy mam za zadanie tutaj narysować raz \(\displaystyle{ y=\sin 2x}\) normalny a potem drugi raz tylko ze przeksztalcony \(\displaystyle{ y=|\sin 2x|}\)?