Lematy Maturalne

[Richard del Ferro]

Wrzucajcie na ten temat takie lemaciki, które mogą sie przydać na maturze

\(\displaystyle{ 1.}\) \(\displaystyle{ |alpha + frac{1}{ alpha } | ge 2}\) - suma liczby i jej odwrotności

\(\displaystyle{ 2.}\) \(\displaystyle{ | left( alpha + eta
ight) left( frac{1}{ alpha } + frac{1}{ eta }
ight) | ge 4}\)-iloczyn sumy i sumy odwrotności

\(\displaystyle{ 3.}\) \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2} ge ab+ac+bc Leftrightarrow left( a-b
ight) ^{2}+ left( a-c
ight) ^{2}+ left( b-c
ight) ^{2} ge 0}\)

Dla dowolnych liczb, gdzie \(\displaystyle{ a+b+c ge 0}\)
\(\displaystyle{ 4.}\) \(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}+c^{3} ge 3abc Leftrightarrow left( a+b+c
ight) left( left( a-b
ight) ^{2}+ left( a-c
ight) ^{2}+ left( b-c
ight) ^{2}
ight) ge 0}\)

5. Warunek dostateczny.
Wiemy, że ekstremum funkcji szukamy w miejscach zerowych pochodnej funkcji.
Zauważmy, że ekstremum nie ma jak pochodna nie zmienia znaku.
Skoro wiemy, że dotyka ona osi OX (bo badamy, tam gdzie \(\displaystyle{ f left( x
ight) '=0}\)) to zależy nam na tym, żeby PRZECIEŁA te oś (zmieni znak). A kiedy przetnie? Jak będzie ściśle rosnąca lub malejąca w tym punkcie. Jak to zbadać? Pochodną!
Więc z takim uzasadnieniem możemy badać, że ekstremum mamy, gdy \(\displaystyle{ f left( x
ight) ''
eq 0}\).
Maksimum mamy, gdy \(\displaystyle{ f left( x
ight) ''<0}\)
Minimum mamy, gdy \(\displaystyle{ f left( x
ight) ''>0}\)
Dlaczego? Bo, gdy druga pochodna jest ujemna, to pochodna jest malejąca, czyli była u góry i przechodzi w dół i analogicznie w drugą stronę.
Omijamy w ten sposób rozważanie wykresu pochodnej, niekiedy trudnej do narysowania, lub rozłożenia na czynniki postaci wielomianowej i innych cięzkorysowalnych funkcji.
Przykład:
\(\displaystyle{ f left( x
ight) =x^2 \
f left( x
ight) '=2x \
2x=0 Leftrightarrow x=0 \
f left( x
ight) ''= 1 >0}\)
Mamy minimum bo większa od zera. Zgadza się? Każdy, chyba widział na oczy ten wykres i potwierdzi

6. Jeżeli suma współczynników w wielomianie równa jest zero, to wtedy \(\displaystyle{ W left( 1
ight) =0}\)

7. Jeżeli suma współczynników przy potęgach parzystych (wyraz wolny to inaczej \(\displaystyle{ ax^{0}}\), więc też parzysta) równa jest sumie przy potęgach nieparzystych to \(\displaystyle{ W left( -1
ight) =0}\).

8. Jeżeli dzielimy wielomian stopnia \(\displaystyle{ M}\) przez wielomian stopnia \(\displaystyle{ N}\), przy czym ważne \(\displaystyle{ M ge N}\) to reszta z tego dzielenia jest stopnia najwyżej \(\displaystyle{ left( N-1
ight)}\).
Każda taką reszte możemy zapisać za pomocą wielomianu z parametrami czyli np, dzielimy wielomian stopnia \(\displaystyle{ 5}\) przez wielomian stopnia \(\displaystyle{ 4}\) to wiemy, że \(\displaystyle{ R left( x
ight) =ax^{3}+bx^{2}+cx+d}\). Może z tego wyjść reszta np. w postaci trójmianu kwadratowego ale wtedy nam to wyjdzie po prostu \(\displaystyle{ a=0}\).

9. Jest to odniesienie do punktu nr \(\displaystyle{ 7}\).
Załóżmy, że musimy znaleźć ekstremum wielomianu wysokiego stopnia np. \(\displaystyle{ left( x^{2}-8
ight) ^{7}}\).
Podajmy wzór na złożenie funkcji.
Jeżeli \(\displaystyle{ h left( x
ight) =f left( g left( x
ight)
ight)}\) to \(\displaystyle{ h left( x
ight) '=f left( g left( x
ight)
ight) ' cdot g left( x
ight) '}\).
U nas :
\(\displaystyle{ f left( x
ight) =x^{7}}\), pochodna tego to będzie \(\displaystyle{ 7x^{6}}\) to wie każdy, podstawowy wzór.
\(\displaystyle{ g left( x
ight) = left( x^{2}-8
ight)}\)
Więc \(\displaystyle{ left[ left( x^{2}-8
ight) ^{7}
ight] '=7 left( x^{2}-8
ight) ^{6} cdot left( x^{2}-8
ight) '}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ left( x^{2}-8
ight) '=2x}\), więc równe jest to \(\displaystyle{ 7 left( x^{2}-8
ight) ^{6} cdot 2x}\)
Teraz łatwo widzimy, że \(\displaystyle{ f left( x
ight) '=0 Leftrightarrow left( x= sqrt{8}}\) lub \(\displaystyle{ x=- sqrt{8}}\)lub \(\displaystyle{ x=0}\))
Podajemy wzór, na pochodną iloczynu funkcji, jest w tablicach, więc nic nowego, ciągle ta druga pochodna.
\(\displaystyle{ A left( x
ight) =B left( x
ight) cdot C left( x
ight)}\)
\(\displaystyle{ A left( x
ight) '=B left( x
ight) 'C left( x
ight) +B left( x
ight) C left( x
ight) '}\)
Liczymy pochodną \(\displaystyle{ f left( x
ight) '=7 left( x^{2}-8
ight) ^{6} cdot 2x}\)
\(\displaystyle{ f left( x
ight) ''= left( 42 left( x^{2}-8
ight) ^{5} cdot 2x
ight) cdot 2x + 7 left( x^{2}-8
ight) ^{6} cdot 2}\)
Widzimy, że całe pierwsze wyrażenie po lewej dla naszych trzech miejsc zerowych jest równe zero(Będzie to zawsze, więc nie musimy sie obawiac, że podstawianie miejsc zerowych będzie trudne do obliczenia)
Badamy, więc tylko znak tego drugiego czyli \(\displaystyle{ 14 left( x^{2}-8
ight) ^{6}}\)
Widzimy, że tylko dla \(\displaystyle{ x=0}\), nie będzie zera, a nawet całość będzie dodatnia, więc mamy minimum.

W ten oto sposób wykazaliśmy, że minimum funkcja ma dla \(\displaystyle{ x=0}\).
Jeżeli chcielibyśmy to robić tradycyjnie to już pokazuje co musielibyście rozważać.
\(\displaystyle{ left( x-8
ight) ^{7}=\=x^{14}-56x^{12}+1344x^{10}-17920x^{8}+143360x^{6}-688128x^{4}+1835008x^{2}-2097152}\)
Powodzenia.
Dodam też, że są zadania, gdzie wykładnik jest parametrem typu \(\displaystyle{ x^{2n}}\), a liczenie takiej pochodnej tradycyjnie może być nawet niewykonalne.
Na koniec wykres dla ciekawskich.


10. Podstawa logarytmu.
Jeżeli w podstawie logarytmu mamy np liczbę \(\displaystyle{ sqrt{2} =2^{ frac{1}{2}}\) to odwrotność wykładnika możemy wrzucić przed logarytm i otrzymamy \(\displaystyle{ 2}\)(logarytmy o podstawie \(\displaystyle{ 2}\))W szkole podają tylko wzór na wyrzucenie wykładnika liczby logarytmowanej przed całość

11. Rozwiązywanie nierówności z sumą nieskończonego ciągu geomtrycznego. Wiemy, że nie możemy niewiadomej przemnażać stronami w nierówności, bo może to zmienić znak nierówności.

Zwykle mamy wyrażenia typu \(\displaystyle{ 1+x+x^{2}... ge N}\)

Po lewej stronie otrzymamy sumę czyli \(\displaystyle{ frac{a}{1-q}}\)
Ale zauważmy, że z warunków ciągu \(\displaystyle{ |q|<1}\), a więc i \(\displaystyle{ left( 1-q
ight) >0}\), a więc z takim komentarzem bez obaw zawsze możemy pomnożyć przez mianownik lewej strony, nie musimy przerzucać wyrażenia z prawej strony na lewą domnażać mianownika i licznika.
Ten sposób jest zawsze poprawny.

12. Znamy twierdzenie o pierwiastkach wymiernych i całkowitych wielomianu.

Np. \(\displaystyle{ 2x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+8x+4=0}\)

Aby ominąć to, że mianownikiem wyrazu wolnego może być najwyższa potęga sprowadzamy to do wielomianu UNORMOWANEGO, czyli najwyższy współczynnik równy \(\displaystyle{ 1}\). Dzielimy przez ten współczynnik, tutaj \(\displaystyle{ 2}\).

I mamy \(\displaystyle{ x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+4x+2=0}\) i sprawdzamy \(\displaystyle{ left( -2
ight) , left( -1
ight) ,1,2}\)

13. Dla dodatnich liczb KAGH (Kto idzie na AGH to powie sobie, że ta uczelnia jest OK i zapamięta )
Kwadratowa \(\displaystyle{ ge}\) Arytmetyczna \(\displaystyle{ ge}\) Geometryczna \(\displaystyle{ ge}\) Harmoniczna

Przypominamy, że ŚREDNIA KWADRATOWA TO PIERWIASTEK ZE ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ KWADRATÓW, niby banalne ale w stresie można zapomnieć, którego stopnia, czy dzielimy itd

14. Jeżeli mamy w zadaniu informację, że pierwiastkiem wielomianu są liczby np. \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\) to zgodnie z twierdzeniem Bezout, wielomian jest ten rozkładalny i za pomocą schematu hornera otrzymamy czynniki.
Wiemy, też, że KAŻDY WIELOMIAN JEST ROZKŁADALNY NA CZYNNIKI STOPNIA CO NAJWYŻEJ DRUGIEGO. Wnioskiem tego jest to, że każda funkcja nieparzysta ma co najmniej jedno miejsce zerowe.
Przykład :
Kiedy funkcja \(\displaystyle{ x^{3}+px+q}\) ma dokładnie dwa miejsca zerowe?
Wiemy, że jedno ma zawsze! Więc, drugi pierwiastek musi być podwójny, więc rozkładając to na czynniki \(\displaystyle{ left( x-a
ight) left( x-b
ight) ^{2}}\) wymnażamy, i otrzymujemy \(\displaystyle{ left( frac{q}{2}
ight) ^{2}+ left( frac{p}{3}
ight) ^{3}=0}\).
Ciekawostka, jest to delta 3 stopnia, dla wielomianu ze współczynnikiem \(\displaystyle{ 0}\) przy \(\displaystyle{ x^{2}}\). Dowolny wielomian 3 stopnia, można doprowadzić do tej postaci.

15. W trójkącie prostokątnym, wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest średnią geometryczną rzutów prostokątnych ramion na przeciwprostokątną.
Inaczej \(\displaystyle{ h= sqrt{ab}}\)

16. W trójkącie prostokątnym opisanym na okręgu, mamy przeciwprostokątną równą \(\displaystyle{ 2R}\).
Przeciwprostokątna, jest zawsze dłuższa niż każde z ramion.
\(\displaystyle{ egin{cases} 2R>a \ 2R>b end{cases}}\)
Dodając stronami mamy \(\displaystyle{ 4R>a+b}\)
Stąd
\(\displaystyle{ R> frac{a+b}{4}}\)

17. Często występujące
\(\displaystyle{ left( sin a
ight) ^{2}- left( sin b
ight) ^{2}= left( sin a + sin b
ight) left( sin a - sin b
ight) = left( 2 sin frac{a+b}{2} cos frac{a-b}{2}
ight) left( 2 sin frac{a-b}{2} cos frac{a+b}{2}
ight) = left( 2 sin frac{a+b}{2} cos frac{a+b}{2}
ight) left( 2 sin frac{a-b}{2} cos frac{a-b}{2}
ight) = sin left( a+b
ight) sin left( a-b
ight)}\)

18. Stożek w kuli, na podstawie podpunktu \(\displaystyle{ 15}\).
420869.htm

Wiem, że każdy na tym forum to miał 100% z matury, kangurka i olimpiady, Tao Terrence jest na waszym poziomie i takie tam, ale proszę ograniczcie swoją agresję tym razem i nie piszcie, JEZU CO TO JEST JAKIE ŁATWE KAŻDY TO ZNA, RICHARD DEL FERRO WARN!!! Tylko dołóżcie coś do listy

[Bourder]

Taka głupotka z planimetrii:
W trójkącie prostokątnym, długość środkowej opuszczonej na przeciwprostokątną jest równa promieniowi okręgu opisanego na tym trójkącie.

[Larsonik]

Skoro tak: środkowa w trójkącie prostokątnym poprowadzona z wierzchołka kąta prostokątnego dzieli trójkąt na dwa trójkąty równoramienne.

Jeśli znamy promień \(\displaystyle{ r}\) okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny i długosci jego przyprostokątnych \(\displaystyle{ a,b}\), to wtedy przeciwprostokątna ma długość \(\displaystyle{ c = a + b - 2r}\).

[Jan Kraszewski]

wierzchołka kąta prostokątnego

JK

[Larsonik]

JK

Teraz głupio edytować.-- 6 maja 2017, o 16:59 --A niech wisi, będzie nauczka

[Richard del Ferro]

Zauważyłem teraz, może ktoś też, nawet mnie rozbawiło

Mamy \(\displaystyle{ (\sin A)^{2} - (\sin B)^{2}}\) i ze wzoru na różnicę kwadratów mamy \(\displaystyle{ \sin (A+B) \sin (A-B)}\) hehehe \(\displaystyle{ \mbox{d}x \mbox{d}x}\) xDxD

[k82012629]

Z punktem 5. się nie zgodzę, sprawdź na przykład na \(\displaystyle{ x^{4}}\) w zerze.
Warunek dostateczny to kwestia tego, która pochodna przestaje się zerować (jeżeli parzystego rzędu, to ekstremum jest, szczegóły na stronie 140. w ).

[Richard del Ferro]

W podpunkcie piątym chodzi raczej o to, że jak jest niezerowa to mamy pewność, że ekstremum istnieje. To było nawet w podstawie programowej. Ale dzięki, super skrypt wysłałeś, na pewno pomoże to wszystkim maturzystom, jak to miło wiedzieć jak zdolni uczniowie dzielą się wiedzą dla dobra innych....

[k82012629]

Richard del Ferro, mój błąd, nie doczytałem dokładnie. Masz rację, jest to warunek dostateczny, dokładniej jest to szczególny przypadek wyżej wspomnianego Stwierdzenia 6.61. Proszę, aczkolwiek jeśli pomoże maturzystom to już raczej nie tegorocznym

[Larsonik]

14. [...] Wnioskiem tego jest to, że każda funkcja nieparzysta ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

Wielomian nieparzystego stopnia .