Pochodna funkcji w punkcie(z definicji) z problemem

[Piotrox]

Witam, mam problem z taką oto funkcją \(\displaystyle{ y=\frac{4}{1+x^2}-\tg x}\) i obleczeniem z niej pochodnej w punkcie \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}}\)

Jak na razie mam policzone że \(\displaystyle{ f(\frac{\pi}{4})=\frac{3-\frac{\pi^2}{16}}{1+\frac{\pi^2}{16}}}\)

Problem jednak tkwi jak policzyć dalej bo wychodzą mi jakieś głupoty i nic się nie zgadza czy ktoś mógłby mi pomóc z tym przykładem? Głównie chodzi o pomoc w dokończeniu tego przykładu.

[Premislav]

A w co chcesz oblec tę pochodną? W zwiewne jedwabie z Chin, czy może w delikatne koronki weneckie?

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{4}{1+x^2}-\tg x \\f'(x)= \frac{-8x}{(1+x^2)^2} - \frac{1}{\cos^2 x}\\ f'\left( \frac \pi 4\right)=\dots}\)
(podstaw do wzorku)

Skorzystałem ze znanych wzorów na pochodne i ze wzoru na pochodną ilorazu.

[Piotrox]

Przepraszam nie dopisałem to ma być pochodna w punkcie obliczona z definicji

[Premislav]

Kto w ogóle liczy takie rzeczy z definicji??
W tym celu najlepiej oddzielnie policzyć z definicji pochodną funkcji \(\displaystyle{ f_1(x)= \frac{4}{1+x^2}}\) oraz \(\displaystyle{ f_2(x)=\tg x}\) i skorzystać z tego, że pochodna różnicy (dla funkcji różniczkowalnych w danym punkcie) to różnica pochodnych. Jeżeli tak też nie możesz, to trudno, ja się nie będę bawił w takie dłubanie.
Zacznijmy od tego drugiego:
jest \(\displaystyle{ \tg x-\tg y= \frac{\sin x \cos y-\sin y \cos x}{\cos x \cos y}= \frac{\sin(x-y)}{\cos x \cos y}}\),
a zatem:
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{\tg\left( \frac{\pi}{4}+h \right) -\tg \frac \pi 4}{h}= \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \cdot \frac{1}{\cos\left( \frac \pi 4\right)\cos\left( \frac \pi 4+h\right) }= \frac{1}{\cos^2\left( \frac \pi 4\right) } =2}\)
gdyż (znana granica specjalna) \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}=1}\)
A to pierwsze jest bardzo proste, pokaż, jak liczysz i gdzie się zacinasz. Tj. mam na myśli
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{4}{1+\left( \frac \pi 4+h\right)^2 }- \frac{1}{1+ \frac{\pi^2}{16} } }{h}}\)
Ułamki w liczniku sprowadzasz do wspólnego mianownika itd.

[Piotrox]

W zasadzie mogę rozbić to tak jak piszesz a jeśli chodzi o tą drugą funkcje to mam jak na razie takie coś:
\(\displaystyle{ \lim_{h\to 0 } \frac{\frac{4}{1+(\frac{\pi}{4}+h)^2}-\frac{1}{1+\frac{\pi^2}{16}}}{h}=\lim_{h\to 0 }\frac{\frac{4(1+\frac{\pi^2}{16})}{1+(\frac{\pi}{4}+h)^2(1+\frac{\pi^2}{16})}-\frac{1+(\frac{\pi}{4}+h)^2}{1+(\frac{\pi}{4}+h)^2(1+\frac{\pi^2}{16})}}{h}}\)

No i dalej jestem zgubiony bo wychodzą rzeczy gdzie sie wszystko zaczyna mielić mi w głowie ni chyba że coś robie nie tak.

[Premislav]

No OK, na razie w porządku. I gdzie się dalej gubisz? Wykonujesz po prostu odejmowanie liczników i wyjdzie coś prostego. Wystarczy znać podstawowe własności działań i wzór na kwadrat sumy:
\(\displaystyle{ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\)

[Piotrox]

Dalej mam takie coś:

\(\displaystyle{ \lim_{ h\to 0 } \frac{3+3\frac{\pi^2}{16}-2\frac{\pi}{4}h-h^2}{1+(\frac{\pi}{4}+h)^2(1+\frac{\pi^2}{16})}}\)

No i dalej jest problem

[Premislav]

A sorry, jednak miałeś istotne błędy, zbyt pobieżnie rzuciłem okiem. Po pierwsze, ta granica wygląda tak:
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{4}{1+\left(\frac \pi 4+h \right)^2 }- \frac{{\red 4}}{1+ \frac{\pi^2}{16} } }{h}}\)
Nie wiem, w jaki sposób z funkcji \(\displaystyle{ \frac{4}{1+x^2}}\) zrobiłeś funkcję \(\displaystyle{ \frac{1}{1+x^2}}\)
Ponadto przecież jak sprowadzasz do wspólnego mianownika, to powinien on być postaci
\(\displaystyle{ \left( 1+\left( \frac \pi 4 +h\right)^2 \right)\left( 1+ \frac{\pi^2}{16} \right)}\)
a w żadnym razie tak:
\(\displaystyle{ 1+\left( \frac \pi 4 +h\right)^2 \left( 1+ \frac{\pi^2}{16} \right)}\)
- myślałem z początku, że to literówka i oby tak było...

Ponadto gubisz gdzieś to nieszczęsne \(\displaystyle{ h}\) w mianowniku, po przekształceniu tego wszystkiego powinieneś był otrzymać coś takiego:
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{4\left( 1+\frac{\pi^2}{16}\right)-4-4\left( \frac{\pi^2}{16}+\frac{h\pi}{2}+h^2\right) }{h\left( 1+\left( \frac \pi 4 +h\right)^2 \right)\left( 1+ \frac{\pi^2}{16} \right)}=\dots}\)
Wystarczy wykonac odejmowanie, a potem podzielić licznik oraz mianownik przez \(\displaystyle{ h.}\)

[Piotrox]

Dalej zrobiłem następująco:

\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{4+4\frac{\pi}{16}-4-4\frac{\pi^2}{16}-2h\pi-4h^2}{h(1+(\frac{\pi}{4}+h)^2)(1+\frac{\pi^2}{16})}= \lim_{ h\to 0}\frac{-2h\pi-4h^2}{h(1+(\frac{\pi}{4}+h)^2)(1+\frac{\pi^2}{16})}= \lim_{ h\to 0}\frac{h(-2\pi-4h)}{h(1+(\frac{\pi}{4}+h)^2)(1+\frac{\pi^2}{16})}=\frac{-2\pi}{(1+\frac{\pi^2}{16})^2}}\)

Błąd był przedtem ze względu na moje zagapienie(z tym 1 w liczniku).

[Premislav]

Teraz jest w porządku.
Odejmij teraz od tego tę pochodną tangensa i masz wynik.