Wyznaczyć z definicji pochodną mocną:
\(\displaystyle{ f: (\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}) \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ f(x,y,z)=e^{\frac{z}{x}}\sin{y}}\)
w punkcie \(\displaystyle{ (1,0,-1) \in \mathbb{R}^{3}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0}\frac {f((-1,0,1)+(h_{1},h_{2},h_{3})) - f(-1,0,1)-T(h_{1},h_{2},h_{3})}{\left| \left| h\right| \right|} =
\lim_{ h \to 0} \frac {e^{\frac{1+h_{3}}{-1+h_{1}}}\sin{h_{2}}-\frac{1}{e}*0- \alpha h_{1} -\beta h_{2} - \gamma h_{3} }{\left| \left| h\right| \right|}}\)
Teraz powinnam to przyrównać do 0, aby wyznaczyć \(\displaystyle{ \alpha , \beta , \gamma}\)
Ale tutaj utknęłam, bo nie wiem co zrobić z tym:
\(\displaystyle{ e^{\frac{1+h_{3}}{-1+h_{1}}}\sin{h_{2}}-\frac{1}{e}*0- \alpha h_{1} -\beta h_{2} - \gamma h_{3} =0}\)
Pochodna mocna z definicji
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 8035
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1707 razy
Pochodna mocna z definicji
Proszę zauważyć, że wartość funkcji \(\displaystyle{ f}\) w danym punkcie jest równa \(\displaystyle{ 0.}\) ze względu na zmienną \(\displaystyle{ y.}\) (pochodne cząstkowe \(\displaystyle{ f'_{|x}, \ \ f'_{|z}}\) sa równe zero.
Stąd wynika, że pochodna mocna (Frecheta) tej funkcji:
\(\displaystyle{ f'(1, 0, -1) = [ 0, f'_{|y}(1,0,-1), 0]}\)
Wystarczy z definicji obliczyć: pochodną cząstkową funkcji jednej zmiennej \(\displaystyle{ y}\)
\(\displaystyle{ f'_{|y}(1,0,-1) = e^{-1}.}\)
Stąd wynika, że pochodna mocna (Frecheta) tej funkcji:
\(\displaystyle{ f'(1, 0, -1) = [ 0, f'_{|y}(1,0,-1), 0]}\)
Wystarczy z definicji obliczyć: pochodną cząstkową funkcji jednej zmiennej \(\displaystyle{ y}\)
\(\displaystyle{ f'_{|y}(1,0,-1) = e^{-1}.}\)