Pochodna Całki w Punkcie

[pvnrt]

Jeśli \(\displaystyle{ g(x)=\int_{0}^{2}xf(t)dt}\), to \(\displaystyle{ g'(1)=?}\)

Do tego mam wykres funkcji f:

Prosiłbym o wtłumaczenie rozwiązania krok po kroku, z góry dzięki!

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ g(x)=\int_{0}^{2}xf(t)dt=x \cdot \int_{0}^{2}f(t)dt}\)

\(\displaystyle{ \forall_{x\in D} \ \ g'(x)=\int_{0}^{2}f(t)dt}\)

[pvnrt]

Wiem, że odpowiedź to \(\displaystyle{ g'(x)=2f(2x)}\) ale nie wiem dlaczego?

[NogaWeza]

Gdybyś miał \(\displaystyle{ g(x) = \int_{0}^{2x} f(t) \dd t}\), to wtedy rzeczywiście byłoby \(\displaystyle{ g'(x) =
\frac{\dd}{\dd x} \int_{0}^{2x} f(t) \dd t = f(2x) \cdot \frac{\dd}{\dd x} (2x) = 2 f(2x)}\) - to wprost z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego i różniczkowania funkcji złożonej.

W tym przypadku, który podałeś to chyba nie jest prawdą, ale nie chce mi się nad tym myśleć.

P.S. Gottfried Wilhelm Leibniz, w jego nazwisku nie ma "t".

[pvnrt]

To w takim razie czy coś takiego mogłoby być prawidziwe, tak jakby ten x wskoczył w górną granicę?
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2}xf(t)dt= \int_{0}^{2x}f(t)dt}\)

[a4karo]

Wystarczy że weźmiesz jakąkolwiek funkcję (prawie że), żeby się przekonać, że ten wzór nie jest prawdziwy. Ale po co myśleć?

[pvnrt]

Ok, to chyba bład w druku mam.