nierownosc w trojkacie
-
alfred0
- Użytkownik
- Posty: 276
- Rejestracja: 7 cze 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 38 razy
nierownosc w trojkacie
Pokaz ze w dowolnym trojkacie mamy \(\displaystyle{ \sin A+\sin B+\sin C-\sin A \sin B \sin C \ge \sin^3A+\sin^3B+\sin^3C}\)
Ostatnio zmieniony 15 kwie 2017, o 23:48 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
nierownosc w trojkacie
Hayran, nie sądzę. Chociażby dla \(\displaystyle{ A=B=\frac \pi 4, C=\frac \pi 2}\) mamy
\(\displaystyle{ \sin A+\sin B+\sin C-\sin A \sin B \sin C=\sqrt{2}+\frac 1 2}\)
oraz
\(\displaystyle{ \sin^3 A+\sin^3 B+\sin^3 C=1+\frac {1}{\sqrt{2}}<\sqrt{2}+\frac 1 2}\)
-- 16 kwi 2017, o 02:21 --
A co do rozwiązania, to może przy da się taka tożsamość:
\(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}\)
Ale jeszcze nie udało mi się z tym uporać.
-- 16 kwi 2017, o 02:24 --
inny pomysł to wzięcie trójkąta o promieniu okręgu opisanego \(\displaystyle{ 1}\) i kątach wewnętrznych \(\displaystyle{ A,B,C}\) i skorzystanie z twierdzenia sinusów, by przepisać to badziewie jako jakąś nierówność z bokami trójkąta.
\(\displaystyle{ \sin A+\sin B+\sin C-\sin A \sin B \sin C=\sqrt{2}+\frac 1 2}\)
oraz
\(\displaystyle{ \sin^3 A+\sin^3 B+\sin^3 C=1+\frac {1}{\sqrt{2}}<\sqrt{2}+\frac 1 2}\)
-- 16 kwi 2017, o 02:21 --
A co do rozwiązania, to może przy da się taka tożsamość:
\(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}\)
Ale jeszcze nie udało mi się z tym uporać.
-- 16 kwi 2017, o 02:24 --
inny pomysł to wzięcie trójkąta o promieniu okręgu opisanego \(\displaystyle{ 1}\) i kątach wewnętrznych \(\displaystyle{ A,B,C}\) i skorzystanie z twierdzenia sinusów, by przepisać to badziewie jako jakąś nierówność z bokami trójkąta.
-
Zahion
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
nierownosc w trojkacie
Problem ( z tego co przeczytałem w rumunskim artykule ) można poszerzyć do postaci :
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \sin A - n\prod_{}^{} \sin A \ge \frac{4-n}{3} \sum_{}^{} \sin^{3} A}\),
jeśli \(\displaystyle{ 1 \le n \le 4}\), oraz \(\displaystyle{ A, B, C}\) to miary trójkąta.
Zostawiam dla zainteresowanych oba problemy ( duże zainteresowanie ), na dniach przemaluje rozwiązanie, jakie udało mi się napotkać.
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \sin A - n\prod_{}^{} \sin A \ge \frac{4-n}{3} \sum_{}^{} \sin^{3} A}\),
jeśli \(\displaystyle{ 1 \le n \le 4}\), oraz \(\displaystyle{ A, B, C}\) to miary trójkąta.
Zostawiam dla zainteresowanych oba problemy ( duże zainteresowanie ), na dniach przemaluje rozwiązanie, jakie udało mi się napotkać.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
nierownosc w trojkacie
Zahion, to jak będzie z tym rozwiązaniem? Bo ja prędzej jajo zniosę, niźli coś sensownego wymyślę, a nikt inny na razie też się nie kwapi.
Jeśli nie masz za bardzo czasu/ochoty tu tego pisać, to może po prostu podasz link?
Jeśli nie masz za bardzo czasu/ochoty tu tego pisać, to może po prostu podasz link?
-
Zahion
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
nierownosc w trojkacie
Otóz na początku wyprowadzono równości, kolejno :
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \sin A = \frac{p}{r}, \prod_{}^{} \sin A = \frac{pr}{2R^{2}}, \sum_{}^{} \sin^{3} A = \frac{2p\left( p^{2} - 3r^{2} -Rr\right) }{8R^{3}}}\), co daje po przekształceniu do udowodnienia nierówność \(\displaystyle{ p^{2} \le 4R^{2} + 4Rr + 3r^{2}}\), ta ostatnia nierówność to nierówność Gerretsen's.
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \sin A = \frac{p}{r}, \prod_{}^{} \sin A = \frac{pr}{2R^{2}}, \sum_{}^{} \sin^{3} A = \frac{2p\left( p^{2} - 3r^{2} -Rr\right) }{8R^{3}}}\), co daje po przekształceniu do udowodnienia nierówność \(\displaystyle{ p^{2} \le 4R^{2} + 4Rr + 3r^{2}}\), ta ostatnia nierówność to nierówność Gerretsen's.