Ostrosłup prawidłowy trójkątny.

[misi123456]

Witam, mam problem z policzeniem objętości, nie wychodzi mi odpowiedź z klucza, proszę o pomoc.
Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do podstawy pod katem \(\displaystyle{ \alpha}\) . Pole ściany bocznej jest równe \(\displaystyle{ P}\) . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
\(\displaystyle{ H}\) - wysokość ostrosłupa
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość ściany bocznej
\(\displaystyle{ a}\) - krawędź podstawy ostrosłupa

\(\displaystyle{ \frac{ah}{2} = P}\), z tego \(\displaystyle{ h = \frac{2P}{a}}\)
\(\displaystyle{ \frac{H}{h} = \sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ H=h\sin \alpha = \frac{2P}{a} \sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}a^{2}H= \frac{1}{3}2aP\sin\alpha}\)
z zależności (tak też w odpowiedziach jest) wyprowadziłem zależność
\(\displaystyle{ a^{2}=4\sqrt{3}P\cos\alpha}\)
ostatecznie
\(\displaystyle{ V=\frac{4}{3}\sqrt[4]{3}P\sqrt{P\cos\alpha}\sin\alpha}\)

[piasek101]

Nie wiem skąd masz ten pierwiastek z 3.

[misi123456]

\(\displaystyle{ \frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{h}=\cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ h = \frac{2P}{a}}\)
zatem
\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{2P}{a}}}\)
z tego
\(\displaystyle{ a^{2}=\frac{12}{\sqrt{3}}P\cos\alpha=4\sqrt{3}P\cos\alpha}\)

[kropka+]

Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego...
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}a^{2}H=...}\)

W podstawie jest trójkąt a nie kwadrat...