Zbieżność punktowa

matematykiv · Post autor: **matematykiv** » 15 kwie 2017, o 14:19

Cześć,
jak zbadać zbieżność punktową \(\displaystyle{ f_{n} = nx(1-x)^{n}}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\)? Poradziłem sobie ze zbieżnością punktową tego ciągu na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\),ale nie mam pomysłu jak to będzie dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\).. Wiem oczywiście, że trzeba policzyć granicę, ale mam problem z ustaleniem przedziałów dla \(\displaystyle{ x}\).

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 15 kwie 2017, o 14:27

Jak jest z istnieniem granicy ciągu o wyrazie \(\displaystyle{ a_n=a^n}\) w zależności od \(\displaystyle{ a}\)?

matematykiv · Post autor: **matematykiv** » 15 kwie 2017, o 14:36

Jeśli \(\displaystyle{ a>1}\) to ciąg rośnie, granica to nieskończoność
dla \(\displaystyle{ a=1}\) mamy \(\displaystyle{ 1\cdot1\cdot1....}\) i granica to \(\displaystyle{ 1}\)
dla \(\displaystyle{ a \in (0,1)}\) granica to \(\displaystyle{ 0}\)
dla \(\displaystyle{ a = 0}\) mamy \(\displaystyle{ 0\cdot0\cdot0...}\) i granica to \(\displaystyle{ 0}\)
dla \(\displaystyle{ a < 0}\) mamy \(\displaystyle{ \lim sup a_{n} = +\infty}\) dla \(\displaystyle{ n}\) parzystych i \(\displaystyle{ \lim inf a_{n} = - \infty}\) dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystych, a taka zwykła granica to chyba nie istnieje.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 15 kwie 2017, o 14:46

Nic tylko zastosować do Twojego przypadku. Tam oczywiście jest \(\displaystyle{ n}\) ale ono na szybkość zbieżności specjalnie nie wpływa. W zasadzie mogłem zadać pytanie o zbieżność ciągu o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ na^n}\) w zależności od \(\displaystyle{ a}\).

matematykiv · Post autor: **matematykiv** » 15 kwie 2017, o 14:59

Ale tam jest jeszcze \(\displaystyle{ x}\) przed nawiasem, który wszystko psuje i nie da się tego tak łatwo rozdzielić na przypadki..

a4karo · Post autor: **a4karo** » 15 kwie 2017, o 17:17

Granice jednak źle policzyłes.

matematykiv · Post autor: **matematykiv** » 15 kwie 2017, o 17:21

A co jest źle?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 15 kwie 2017, o 17:58

Ujemne \(\displaystyle{ a}\)

matematykiv · Post autor: **matematykiv** » 15 kwie 2017, o 22:39

A co tam jest źle? To ma aż takie znaczenie dla rozwiązania tego zadania?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 15 kwie 2017, o 22:44

Po pierwsze jest źle, po drugie ma wpływ.

matematykiv · Post autor: **matematykiv** » 16 kwie 2017, o 10:06

A jak byłoby dobrze? Bo nie widzę co jest źle.

Kordyt · Post autor: **Kordyt** » 16 kwie 2017, o 10:53

Nie rozważyłeś \(\displaystyle{ a\in (-1;0)}\)

matematykiv · Post autor: **matematykiv** » 16 kwie 2017, o 22:13

Rzeczywiście, wtedy kolejne wyrazy ciągu dążą do 0. Ale jak mam rozwiązać to na przykładzie tego zadania? Tam jest jeszcze x przed nawiasem.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 17 kwie 2017, o 08:12

Dużo większym problemem niż \(\displaystyle{ x}\) przed nawiasem jest \(\displaystyle{ n}\) przed nawiasem.

Możesz skorzystać z faktu, że jeżeli od pewnego miejsca \(\displaystyle{ \left|\frac{x_n} {x_{n-1}} \right|<q<1}\),to ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) jest zbieżny do zera.

matematykiv · Post autor: **matematykiv** » 18 kwie 2017, o 13:26

Ok, poradziłem sobie ze zbieżnością punktową.
Dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\) ciąg funkcyjny \(\displaystyle{ f_{n}(x)=nx(1-x)^{n}}\) zbiega na przedziale \(\displaystyle{ x in [0,2)}\) do funkcji \(\displaystyle{ f=0}\). W pozostałych przypadkach czyli dla \(\displaystyle{ x in (- infty ,0) cup [2, + infty )}\) ciąg funkcyjny jest rozbieżny.

Teraz wystarczy policzyć \(\displaystyle{ lim_{n o infty } sup_{x in [0,2)} |nx(1-x)^{n} - 0|}\) i wyjdzie nam czy jest czy nie jest zbieżny jednostajnie na tym przedziale? A wszędzie indziej w dziedzinie nie jest na pewno zbieżny jednostajnie.