Parametr a, funkcja z wartością bezwzględną

[misi123456]

Witam, mam problem z zadaniem, proszę o pomoc:
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ a}\), dla których nierówność \(\displaystyle{ x^{2}+4|x-a|-a^{2}\ge 0}\) jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\).
Ciągle wychodzi mi \(\displaystyle{ a = \lbrace -2,2 \rbrace}\), a ma wyjść przedział i nie wiem co mam z tym fantem zrobić.

[Zahion]

Mógłbyś przedstawić swoje rozwiązanie ? Wtedy zidentyfikujemy błąd jaki popełniasz.

[Jan Kraszewski]

Ciągle wychodzi mi \(\displaystyle{ a = \lbrace -2,2 \rbrace}\),

No i jak już, to wychodzi Ci \(\displaystyle{ a \red\in\black \lbrace -2,2 \rbrace}\).

JK

[misi123456]

Moje rozwiązanie:
Dla \(\displaystyle{ x-a \ge 0}\) mamy \(\displaystyle{ x^{2}+4x-4a - a^{2} \ge 0}\), założenia: \(\displaystyle{ \Delta \le 0}\) i z tego wychodzi \(\displaystyle{ a=-2}\).
Dla \(\displaystyle{ x-a < 0}\) mamy \(\displaystyle{ x^{2} - 4x +4a -a^{2} \ge 0}\), założenia: \(\displaystyle{ \Delta \le 0}\) i z tego wychodzi \(\displaystyle{ a=2}\).

[Zahion]

Równanie \(\displaystyle{ x^{2} + 4x -4a -a^{2} \ge 0}\) jest spełnione przez \(\displaystyle{ x \in R}\) dla \(\displaystyle{ a = - 2}\), z drugiej strony Ty chcesz, aby ono było spełnione dla \(\displaystyle{ x \ge a}\) ( początkowe założenie ).
Zauważ, że \(\displaystyle{ x^{2}+4|x-a|-a^{2} = \left( x-a\right)\left( x+a\right) +4\left| x-a\right|}\). Tutaj warto rozpatrzeć dwa przypadki, zapisując następnie to wyrażenie w postaci iloczynowej. Zastanów się wtedy, kiedy te iloczyny są większe od \(\displaystyle{ 0}\) przy danych założeniach.

[Jan Kraszewski]

Przyjąłeś za silne warunki. Wykres funkcji

\(\displaystyle{ f_a(x)= \begin{cases} x^{2}+4x-4a - a^{2}&\mbox{dla }x\ge a \\ x^{2}-4x+4a - a^{2}&\mbox{dla }x< a \end{cases}}\)

składa się z fragmentów dwóch parabol. Ty próbowałeś sprawdzić, kiedy obie te parabole są w całości nad osią \(\displaystyle{ OX}\) (i źle zinterpretowałeś wynik, nie zastanowiłeś się, co to znaczy, że "wychodzi" \(\displaystyle{ -2}\) lub \(\displaystyle{ 2}\)). Tymczasem wystarczy, by każda z tych parabol była nad osią \(\displaystyle{ OX}\) tylko na tej półprostej, na której jest określona w definicji funkcji \(\displaystyle{ f_a}\).

Można pokombinować tak (zastanów się dlaczego): dla \(\displaystyle{ x\ge a}\) większy pierwiastek ma być mniejszy od \(\displaystyle{ a}\), a dla \(\displaystyle{ x<a}\) mniejszy pierwiastek ma być większy od \(\displaystyle{ a}\). No a potem przekrój otrzymanych zbiorów (bo oba kawałki paraboli muszą być nad osią). Wychodzi ostatecznie \(\displaystyle{ a\in[-2,2]}\).

JK

[misi123456]

Sposobem Zahiona otrzymałem odpowiedź, najgorsze że bym na to nie wpadł sam :/
Panie Janie, dla \(\displaystyle{ x \ge a}\) większy pierwiastek ma być mniejszy, bądź równy \(\displaystyle{ a}\), bo gdyby był większy od \(\displaystyle{ a}\) to przed półprostą wykres naszego fragmentu funkcji kwadratowej przechodził by pod oś \(\displaystyle{ OX}\) a tego nie chcemy, bo musimy sprawdzać kiedy \(\displaystyle{ f_{a} \ge 0}\),a dla pierwiastków mniejszych od \(\displaystyle{ a}\) punkt przecięcia się wykresu \(\displaystyle{ f_{a}}\) dla \(\displaystyle{ x \ge a}\) z półprostą \(\displaystyle{ a}\) albo wartość tego pkt byłaby większa od 0 albo równa dla przypadku gdy \(\displaystyle{ x_{0}=a}\) , a dla \(\displaystyle{ x < a}\) mniejszy pierwiastek ma być większy od \(\displaystyle{ a}\) albo równy z tego samego powodu co dla pierwszego przypadku, żeby pkt przecięcia półprostej z fragmentem paraboli miał wartość większą bądź równą \(\displaystyle{ 0}\). Tylko nie wiem jak do tego zapisać równania.

[Jan Kraszewski]

Panie Janie, dla \(\displaystyle{ x \ge a}\) większy pierwiastek ma być mniejszy, bądź równy \(\displaystyle{ a}\),

Masz rację, napisałem "mniejszy", ale myślałem i liczyłem dla "mniejszy bądź równy".

Tylko nie wiem jak do tego zapisać równania.

Jeśli masz równanie kwadratowe ze współczynnikiem przy \(\displaystyle{ x^2}\) dodatnim, to mniejszym pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\), a większym \(\displaystyle{ \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\). Stąd już łatwo zapisać obie nierówności.

JK

[misi123456]

Rzeczywiście nie mogło to być prostsze , dziękuję Panu bardzo za pomoc.