[MIX] Teoria liczb, karta z trudnymi

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5856
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2403 razy
Pomógł: 648 razy

[MIX] Teoria liczb, karta z trudnymi

Post autor: mol_ksiazkowy » 11 kwie 2017, o 13:10

1. Skonstruować ciąg liczb naturalnych \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3,...}\) o własności:
i) \(\displaystyle{ a_k}\) ma \(\displaystyle{ k}\) cyfr,
ii) \(\displaystyle{ 2^k}\) dzieli \(\displaystyle{ a_k}\),
iii) \(\displaystyle{ a_k}\) ma tylko cyfry \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\).
2. Jakie wartości całkowite może przyjmować \(\displaystyle{ f(a,b,c) = \frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} +\frac{a+c}{b}}\) gdy \(\displaystyle{ a, b, c}\) są liczbami całkowitymi różnymi od zera ?
3. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ q}\) jest liczbą pierwszą i \(\displaystyle{ q=8k+7}\) to \(\displaystyle{ q}\) jest dzielnikiem liczby Mersenne’a \(\displaystyle{ M_{\frac{q-1}{2}}}\).
4. Rozwiązać kongruencję \(\displaystyle{ x^{24} + 7x \equiv 2 \pmod{13}}\).
5. Udowodnić własność funkcji Eulera: jeśli \(\displaystyle{ \frac{\phi(n)}{n}= \frac{\phi(m)}{m}}\) to \(\displaystyle{ m=n}\).
6. Liczbą \(\displaystyle{ k}\) nazywa się rozkoszną, jeśli jest podzielna przez sumę swych cyfr. Czy istnieje nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny liczb rozkosznych ?
7. Udowodnić, że jeśli jedna z liczb \(\displaystyle{ 25x+3y , \ 3x+7y}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 41}\) to druga z nich także.
8. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ 2^n - 1}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ 2^{n_1}+ ...+ 2^{n_k}}\) to \(\displaystyle{ k \geq n}\).
9. Wykazać że istnieje nieskończenie wiele takich czwórek liczb naturalnych \(\displaystyle{ x, y, z, t}\) że
\(\displaystyle{ NWD(x, y, z, t) = 1}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = \frac{1}{z^2} + \frac{1}{t^2}}\).

10. Czy istnieje \(\displaystyle{ n>3}\) że \(\displaystyle{ n \left( \frac{1}{1!}+ ...+ \frac{1}{n!} \right)}\) jest liczbą całkowitą ?

11. Udowodnić, że istnieje nieskończona ilość liczb pierwszych \(\displaystyle{ p}\) takich, że równanie \(\displaystyle{ 3x^3 +4y^4+ 5z^3 - y^4z \equiv 0 \pmod{p}}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ p^2}\) rozwiązań modulo \(\displaystyle{ p}\).
12. Czy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+2y^2= 4z^2\\ NWD(x, y, z)=1 \end{cases}}\)
ma nieskończoną ilość rozwiązań ?
13. Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie liczbą naturalną. Udowodnić istnienia takiego \(\displaystyle{ k}\) że \(\displaystyle{ ak^2+1}\) jest podzielne przez kwadrat liczby całkowitej większej od jeden.
14. Udowodnić że największym wykładnikiem \(\displaystyle{ k}\) takim, że \(\displaystyle{ 5^k}\) dzieli \(\displaystyle{ (5^n - 3)!}\) jest \(\displaystyle{ \frac{5^n-4n-1}{4}}\).
15. Udowodnić, że istnieje nieskończony ciąg liczb naturalnych \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3,...}\) większych od \(\displaystyle{ 1}\) i taki że \(\displaystyle{ a_1...a_n - 1}\) jest kwadratem liczby całkowitej dla \(\displaystyle{ n=1, ,2, 3, ...}\)
16. Udowodnić, że jeśli liczby \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ 4p+1}\) są pierwsze, to liczba \(\displaystyle{ 2}\) jest pierwiastkiem pierwotnym dla \(\displaystyle{ 4p+1}\).
17. Dla jakich \(\displaystyle{ m, n}\) liczby \(\displaystyle{ m+n}\) i \(\displaystyle{ \frac{m+1}{2}n + 1}\) są kwadratami liczb całkowitych ?
18. Rozwiązać równanie całkowitoliczbowe: \(\displaystyle{ x^2(x^2+y^2) =y^4}\).
19. Ile jest liczb \(\displaystyle{ 3n}\) cyfrowych w których każde trzy kolejne cyfry są różne i wśród dowolnych kolejnych \(\displaystyle{ n}\) cyfr jest co najmniej jedno zero ?
20. Niech \(\displaystyle{ A=\{ a_1,...,a_p \}}\) będzie zbiorem liczb rzeczywistych oraz \(\displaystyle{ a_1 > a_2 > .... > a_{p-1}> a_p}\) i niech \(\displaystyle{ s(A)= \sum_{k=1}^{p} (-1)^{k-1} a_k}\). Niech \(\displaystyle{ M \subset N}\) będzie zbiorem \(\displaystyle{ n}\) elementowym. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{A \subset M} s(A)}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\) .

21. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) istnieje jej wielokrotność nie przekraczająca \(\displaystyle{ n^4}\) która ma co najwyżej cztery różne cyfry.
22. Liczby \(\displaystyle{ a_1,..,a_n}\) są ze sobą względnie pierwsze. Każda z liczb \(\displaystyle{ \frac{a_1...a_n}{a_j}}\) daje przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ a_j}\) resztę \(\displaystyle{ r}\) gdy \(\displaystyle{ j=1,..,n}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ r \leq n-2}\).
23. Udowodnić tożsamość \(\displaystyle{ \left\lfloor \frac{m-k}{k} \right\rfloor + \left\lfloor - \frac{m+1}{k} \right\rfloor +2=0}\).
24. Udowodnić, że nie istnieje nieskończony ciąg różnych liczb naturalnych dla którego ciąg odwrotności \(\displaystyle{ \frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3},....}\) jest arytmetyczny.
Czy istnieją skończone ciągi o tej własności ?
Czy mogą mieć dowolną ilość wyrazów ?
25. Udowodnić że jeśli \(\displaystyle{ p>3}\) jest liczbą pierwszą zaś \(\displaystyle{ q=\frac{p-1}{2}}\) to \(\displaystyle{ 2^{3q}q! - (-1)^{3q}(p-2)!!}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ p^3}\).
26. Rozwiązać równanie diofantyczne \(\displaystyle{ xy + xz+ yz = xyz + 3}\)
27. Rozwiązać równanie całkowitoliczbowe: \(\displaystyle{ x^2(x^2+y) =y^4}\).
28. Udowodnić, że gdy \(\displaystyle{ |x| < \frac{1}{2}}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)(1-2x)}=M_1 + M_2x + M_3x^2 + ...}\) gdzie \(\displaystyle{ M_n}\) jest \(\displaystyle{ n}\) tą liczbą Mersenne’a.
29. Liczbę \(\displaystyle{ 2n}\) cyfrową nazywa się wampiryczną jeśli jest iloczynem dwóch liczb \(\displaystyle{ n}\) cyfrowych zbudowanych z tych samych cyfr co i ona; np. \(\displaystyle{ 1435 = 35 \cdot 41}\). Wskazać przykłady liczb wampirycznych sześcio i ośmiocyfrowych.
30. Mamy \(\displaystyle{ 12 \cdot 13 =156}\) i \(\displaystyle{ 21 \cdot 31 = 651}\). Wskazać analogiczny przykład „mnożenia z odwracaniem cyfr” dla dwóch liczb trzycyfrowych.
Ostatnio zmieniony 11 kwie 2017, o 16:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14373
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4726 razy

[MIX] Teoria liczb, karta z trudnymi

Post autor: Premislav » 11 kwie 2017, o 14:06

4.:    
14.:    
18.:    

Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 503 razy

[MIX] Teoria liczb, karta z trudnymi

Post autor: Zahion » 11 kwie 2017, o 15:51

7:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14373
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4726 razy

[MIX] Teoria liczb, karta z trudnymi

Post autor: Premislav » 11 kwie 2017, o 18:28

1.:    
15.:    
26.:    
28.:    

dec1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 714
Rejestracja: 21 mar 2016, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 191 razy

[MIX] Teoria liczb, karta z trudnymi

Post autor: dec1 » 13 kwie 2017, o 18:55

21.:    

mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5856
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2403 razy
Pomógł: 648 razy

[MIX] Teoria liczb, karta z trudnymi

Post autor: mol_ksiazkowy » 13 kwie 2017, o 21:05

2
Ukryta treść:    
7
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2357
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 65 razy
Pomógł: 718 razy

[MIX] Teoria liczb, karta z trudnymi

Post autor: Janusz Tracz » 13 kwie 2017, o 22:42

29
Ukryta treść:    

Hayran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 144
Rejestracja: 26 paź 2016, o 16:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 11 razy

[MIX] Teoria liczb, karta z trudnymi

Post autor: Hayran » 14 kwie 2017, o 09:58


Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14373
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4726 razy

[MIX] Teoria liczb, karta z trudnymi

Post autor: Premislav » 15 kwie 2017, o 01:18

10.:    

dec1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 714
Rejestracja: 21 mar 2016, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 191 razy

[MIX] Teoria liczb, karta z trudnymi

Post autor: dec1 » 15 kwie 2017, o 19:27

10.:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14373
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4726 razy

[MIX] Teoria liczb, karta z trudnymi

Post autor: Premislav » 18 kwie 2017, o 15:13

dec1, a dlaczego dla \(\displaystyle{ n>3}\) licznik napisanego przez Ciebie ułamka nie jest podzielny przez \(\displaystyle{ 3}\)? Bo ja nie wiem.
5.:    

Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 503 razy

[MIX] Teoria liczb, karta z trudnymi

Post autor: Zahion » 18 kwie 2017, o 16:00

Premislav:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14373
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4726 razy

[MIX] Teoria liczb, karta z trudnymi

Post autor: Premislav » 18 kwie 2017, o 22:18

Teraz rozumiem (w sumie to bardzo proste było). Dzięki, Zahion.
Moje rozwiązanie zostało trochę zmiażdżone graficznie (i nie tylko graficznie). Jedna linijka vs pół strony i korzystanie z w miarę mocnych twierdzeń. No cóż...
27.:    

mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5856
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2403 razy
Pomógł: 648 razy

[MIX] Teoria liczb, karta z trudnymi

Post autor: mol_ksiazkowy » 8 maja 2017, o 17:26

13
Ukryta treść:    

mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5856
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2403 razy
Pomógł: 648 razy

[MIX] Teoria liczb, karta z trudnymi

Post autor: mol_ksiazkowy » 3 wrz 2017, o 23:14

15 cd
Ukryta treść:    

ODPOWIEDZ