\(\displaystyle{ x ln(x) dy + \sqrt{ 1+y^{2}}dx =0}\)
Dziedziną tego równania jest \(\displaystyle{ x >0}\) (ze względu na logarytm prawda?)Dziele to równanie przez \(\displaystyle{ \sqrt{1+y^{2}} \cdot x ln(x)}\) i uzyskuje:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{\sqrt{1+y^{2}}} + \frac{dx}{x ln(x)}}\)
Dalej, ponieważ:
\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{\sqrt{1+y^{2}}} = ln\left\lvert \sqrt{1+y^{2}} + y \right\rvert + C}\)
i:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x ln(x)} = ln \left\lvert ln(x) \right\rvert + C}\)
Więc:
\(\displaystyle{ ln\left\lvert (\sqrt{1+y^{2}} +y) \right\rvert +ln\left| ln(x)\right| = C}\)
Teraz mogę stałą C zapisać jako \(\displaystyle{ ln(C)}\) prawda?Stąd mam:
\(\displaystyle{ \left\lvert (\sqrt{1+y^{2}} +y) \right\rvert +\left| ln( ln(x))\right| = C}\)
\(\displaystyle{ (\sqrt{1+y^{2}} +y)\left| ln(x) \right| = C}\)
Co wynika z własności logarytmów i faktu, że \(\displaystyle{ \sqrt{1+y^{2}} +y}\) jest zawsze wyrażeniem większym od \(\displaystyle{ 0}\) dla każdego \(\displaystyle{ y}\)To jest moja odpowiedź do zadania, gdzie oczywiście \(\displaystyle{ x > 0}\)
W książce z której mam zadanie jest odpowiedź:
\(\displaystyle{ ln \left\lvert x \right\rvert (y+ \sqrt{1+y^{2}}) = C}\), \(\displaystyle{ x \neq 0, x \neq 1}\)
Mógłby ktoś to uzsadnić? Dlaczego \(\displaystyle{ ln\left| x \right|}\)? Skąd taka dziedzina rozwiązania?Byłbym bardzo wdzięczny.
Pozdrawiam
