Baza, a powłoka liniowa
-
- Użytkownik
- Posty: 230
- Rejestracja: 4 wrz 2014, o 18:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 58 razy
Baza, a powłoka liniowa
Baza to maksymalny podzbiór niezależnych liniowo wektorów należących do przestrzeni \(\displaystyle{ V}\). Gdy do bazy doda się jakikolwiek wektor, to będzie to już zbiór liniowo zależny.
Natomiast powłoka to najmniejsza podprzestrzeń liniowa przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) zawierająca zbiór \(\displaystyle{ A}\).
Jaka jest różnica? Z bazy zawsze da się "stworzyć" każdy element przestrzeni \(\displaystyle{ V}\), natomiast z powłoki liniowej da się stworzyć tylko ten zbiór \(\displaystyle{ A}\)?
Natomiast powłoka to najmniejsza podprzestrzeń liniowa przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) zawierająca zbiór \(\displaystyle{ A}\).
Jaka jest różnica? Z bazy zawsze da się "stworzyć" każdy element przestrzeni \(\displaystyle{ V}\), natomiast z powłoki liniowej da się stworzyć tylko ten zbiór \(\displaystyle{ A}\)?
-
- Administrator
- Posty: 34542
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
Baza, a powłoka liniowa
Powłoką liniową bazy jest cała przestrzeń.
Powłoka liniowa podzbioru przestrzeni liniowej to jego domknięcie ze względu na działania tej przestrzeni, czyli dodawanie i mnożenie przez skalar. Jest to zatem podprzestrzeń liniowa generowana przez ten zbiór.
JK
Powłoka liniowa podzbioru przestrzeni liniowej to jego domknięcie ze względu na działania tej przestrzeni, czyli dodawanie i mnożenie przez skalar. Jest to zatem podprzestrzeń liniowa generowana przez ten zbiór.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 230
- Rejestracja: 4 wrz 2014, o 18:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 58 razy
Baza, a powłoka liniowa
Czyli jeśli powłoka liniowa generuje podprzestrzeń, to jeśli jej wektory są liniowo niezależne to ona też może być bazą?
Powłoka liniowa to po prostu zbiór dowolnych wektorów, które generują jakąś podprzestrzeń przestrzeni \(\displaystyle{ V}\)?
Powłoka liniowa to po prostu zbiór dowolnych wektorów, które generują jakąś podprzestrzeń przestrzeni \(\displaystyle{ V}\)?
-
- Administrator
- Posty: 34542
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
Baza, a powłoka liniowa
Powłoka nic nie generuje. Powłoka jest generowana.matematykiv pisze:Czyli jeśli powłoka liniowa generuje podprzestrzeń, to jeśli jej wektory są liniowo niezależne to ona też może być bazą?
Nie ma czegoś takiego jak "powłoka liniowa". Jest tylko "powłoka liniowa zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq V}\)".matematykiv pisze:Powłoka liniowa to po prostu zbiór dowolnych wektorów, które generują jakąś podprzestrzeń przestrzeni \(\displaystyle{ V}\)?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 230
- Rejestracja: 4 wrz 2014, o 18:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 58 razy
Baza, a powłoka liniowa
No dobrze, czyli jeśli mamy przestrzeń \(\displaystyle{ \RR}\) i odcinek o końcach \(\displaystyle{ (1,1),(3,3)}\) to rozumiem, że zbiór \(\displaystyle{ A}\), o którym pisałem w pierwszym poście to te dwa punkty. W takim razie najmniejsza podprzestrzeń liniowa zawierająca \(\displaystyle{ A}\) to tak jakby prosta \(\displaystyle{ y=x}\) czyli inaczej mówiąc \(\displaystyle{ Lin(A) = \{(x_{1},x_{1})^{T} : x_{1} \in \RR \}}\). Dobrze?
-
- Administrator
- Posty: 34542
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
Baza, a powłoka liniowa
matematykiv pisze:No dobrze, czyli jeśli mamy przestrzeń \(\displaystyle{ \RR}\)
Raczej \(\displaystyle{ \RR^2}\).
Nie "tak jakby prosta \(\displaystyle{ y=x}\)" tylko "prosta \(\displaystyle{ y=x}\)"...matematykiv pisze:i odcinek o końcach \(\displaystyle{ (1,1),(3,3)}\) to rozumiem, że zbiór \(\displaystyle{ A}\), o którym pisałem w pierwszym poście to te dwa punkty. W takim razie najmniejsza podprzestrzeń liniowa zawierająca \(\displaystyle{ A}\) to tak jakby prosta \(\displaystyle{ y=x}\)
Zgadza się.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 230
- Rejestracja: 4 wrz 2014, o 18:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 58 razy
Baza, a powłoka liniowa
A co w jeśli byłby to zbiór \(\displaystyle{ A=\{(2,-1),(1,1)\}}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{2}}\)?
Wtedy \(\displaystyle{ Lin(A) = \{(2x_{1},-x_{2})^{T},(x_{1},x_{2})^{T} : x_{1},x_{2} \in \RR\}}\)? Trochę mnie zastanawia ten przykład bo \(\displaystyle{ Lin(A)}\) ma być podprzestrzenią zawierającą \(\displaystyle{ A}\)... Graficznie widać, że prosta przechodząca przez te punkty nie przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\). Chociaż \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2} \in \RR}\) i po podstawieniu \(\displaystyle{ 0}\) by pasowały i już sam nie wiem.
Wtedy \(\displaystyle{ Lin(A) = \{(2x_{1},-x_{2})^{T},(x_{1},x_{2})^{T} : x_{1},x_{2} \in \RR\}}\)? Trochę mnie zastanawia ten przykład bo \(\displaystyle{ Lin(A)}\) ma być podprzestrzenią zawierającą \(\displaystyle{ A}\)... Graficznie widać, że prosta przechodząca przez te punkty nie przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\). Chociaż \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2} \in \RR}\) i po podstawieniu \(\displaystyle{ 0}\) by pasowały i już sam nie wiem.
Ukryta treść:
-
- Administrator
- Posty: 34542
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
Baza, a powłoka liniowa
Tak.matematykiv pisze:Czy wszystko wyżej jest źle i powłoką liniową zbioru \(\displaystyle{ A}\) w \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) jest \(\displaystyle{ Lin(A)=\RR^{2}}\)?
A co to?matematykiv pisze: A baza \(\displaystyle{ A}\) to na przykład \(\displaystyle{ (2x_{1},-x_{2})^{T},(x_{1},x_{2})^{T}}\)
Nie ma czegoś takiego jak "baza \(\displaystyle{ A}\)".
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 230
- Rejestracja: 4 wrz 2014, o 18:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 58 razy
Baza, a powłoka liniowa
Rzeczywiście, przecież baza musi być jakiejś przestrzeni, a \(\displaystyle{ A}\) to nie przestrzeń.
Zastanawia mnie tylko jedna rzecz, wiem, że to bez sensu i to widać z rysunku, ale dlaczego nie możemy podstawić sobie \(\displaystyle{ (0,0)}\) za \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\)?
Zastanawia mnie tylko jedna rzecz, wiem, że to bez sensu i to widać z rysunku, ale dlaczego nie możemy podstawić sobie \(\displaystyle{ (0,0)}\) za \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\)?
-
- Administrator
- Posty: 34542
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
Baza, a powłoka liniowa
Ale o co chodzi? Bo nie rozumiem, o co pytasz.matematykiv pisze:Zastanawia mnie tylko jedna rzecz, wiem, że to bez sensu i to widać z rysunku, ale dlaczego nie możemy podstawić sobie \(\displaystyle{ (0,0)}\) za \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\)?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 230
- Rejestracja: 4 wrz 2014, o 18:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 58 razy
Baza, a powłoka liniowa
Jak algebraicznie pokazać, że powłoką liniową \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ \RR^{2}}\), a nie prosta przechodząca przez dwa punkty należące do \(\displaystyle{ A}\)?
-
- Administrator
- Posty: 34542
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
Baza, a powłoka liniowa
Wystarczy zauważyć, że wektory \(\displaystyle{ (2,-1),(1,1)}\) są liniowo niezależne. W związku z tym generują dwuwymiarową podprzestrzeń \(\displaystyle{ \RR^2}\).matematykiv pisze:Jak algebraicznie pokazać, że powłoką liniową \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ \RR^{2}}\),
Przecież ta prosta nie jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \RR^2}\) !matematykiv pisze:a nie prosta przechodząca przez dwa punkty należące do \(\displaystyle{ A}\)?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 230
- Rejestracja: 4 wrz 2014, o 18:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 58 razy
Baza, a powłoka liniowa
No właśnie, ja o tym wiem, wynika to z rysunku. Trzeba to sprawdzić po prostu jak w gimnazjum czyli zapisać to jako funkcję liniową i sprawdzić \(\displaystyle{ f(0)}\)?
-
- Administrator
- Posty: 34542
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
Baza, a powłoka liniowa
To, że wektory są liniowo niezależne, sprawdzasz z definicji. I to zupełnie wystarcza. Natomiast to, że ta prosta nie jest podprzestrzenią liniową wynika z tego, że nie przechodzi ona przez \(\displaystyle{ (0,0)}\), co łatwo sprawdzić.
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 230
- Rejestracja: 4 wrz 2014, o 18:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 58 razy
Baza, a powłoka liniowa
Mam jeszcze jedno banalne pytanie związanie z bazami.
Jak wyznaczyć bazę podprzestrzeni \(\displaystyle{ W=L((0,1,0,1)^{T},(0,1,1,0)^{T},(0,0,-1,1)^{T})}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V=\RR^{4}}\)?
Już na oko widać, że drugi + trzeci wektor dają pierwszy, więc są liniowo zależne. To jak mam znaleźć bazę? Zgadnąć? Skąd będę wiedział, że znalazłem dobrą bazę?
Jak wyznaczyć bazę podprzestrzeni \(\displaystyle{ W=L((0,1,0,1)^{T},(0,1,1,0)^{T},(0,0,-1,1)^{T})}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V=\RR^{4}}\)?
Już na oko widać, że drugi + trzeci wektor dają pierwszy, więc są liniowo zależne. To jak mam znaleźć bazę? Zgadnąć? Skąd będę wiedział, że znalazłem dobrą bazę?