Baza, a powłoka liniowa

[matematykiv]

Baza to maksymalny podzbiór niezależnych liniowo wektorów należących do przestrzeni \(\displaystyle{ V}\). Gdy do bazy doda się jakikolwiek wektor, to będzie to już zbiór liniowo zależny.

Natomiast powłoka to najmniejsza podprzestrzeń liniowa przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) zawierająca zbiór \(\displaystyle{ A}\).
Jaka jest różnica? Z bazy zawsze da się "stworzyć" każdy element przestrzeni \(\displaystyle{ V}\), natomiast z powłoki liniowej da się stworzyć tylko ten zbiór \(\displaystyle{ A}\)?

[Jan Kraszewski]

Powłoką liniową bazy jest cała przestrzeń.

Powłoka liniowa podzbioru przestrzeni liniowej to jego domknięcie ze względu na działania tej przestrzeni, czyli dodawanie i mnożenie przez skalar. Jest to zatem podprzestrzeń liniowa generowana przez ten zbiór.

JK

[matematykiv]

Czyli jeśli powłoka liniowa generuje podprzestrzeń, to jeśli jej wektory są liniowo niezależne to ona też może być bazą?

Powłoka liniowa to po prostu zbiór dowolnych wektorów, które generują jakąś podprzestrzeń przestrzeni \(\displaystyle{ V}\)?

[Jan Kraszewski]

Czyli jeśli powłoka liniowa generuje podprzestrzeń, to jeśli jej wektory są liniowo niezależne to ona też może być bazą?

Powłoka nic nie generuje. Powłoka jest generowana.

Powłoka liniowa to po prostu zbiór dowolnych wektorów, które generują jakąś podprzestrzeń przestrzeni \(\displaystyle{ V}\)?

Nie ma czegoś takiego jak "powłoka liniowa". Jest tylko "powłoka liniowa zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq V}\)".

JK

[matematykiv]

No dobrze, czyli jeśli mamy przestrzeń \(\displaystyle{ \RR}\) i odcinek o końcach \(\displaystyle{ (1,1),(3,3)}\) to rozumiem, że zbiór \(\displaystyle{ A}\), o którym pisałem w pierwszym poście to te dwa punkty. W takim razie najmniejsza podprzestrzeń liniowa zawierająca \(\displaystyle{ A}\) to tak jakby prosta \(\displaystyle{ y=x}\) czyli inaczej mówiąc \(\displaystyle{ Lin(A) = \{(x_{1},x_{1})^{T} : x_{1} \in \RR \}}\). Dobrze?

[Jan Kraszewski]

No dobrze, czyli jeśli mamy przestrzeń \(\displaystyle{ \RR}\)

Raczej \(\displaystyle{ \RR^2}\).

i odcinek o końcach \(\displaystyle{ (1,1),(3,3)}\) to rozumiem, że zbiór \(\displaystyle{ A}\), o którym pisałem w pierwszym poście to te dwa punkty. W takim razie najmniejsza podprzestrzeń liniowa zawierająca \(\displaystyle{ A}\) to tak jakby prosta \(\displaystyle{ y=x}\)

Nie "tak jakby prosta \(\displaystyle{ y=x}\)" tylko "prosta \(\displaystyle{ y=x}\)"...

Zgadza się.

JK

[matematykiv]

A co w jeśli byłby to zbiór \(\displaystyle{ A=\{(2,-1),(1,1)\}}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{2}}\)?
Wtedy \(\displaystyle{ Lin(A) = \{(2x_{1},-x_{2})^{T},(x_{1},x_{2})^{T} : x_{1},x_{2} \in \RR\}}\)? Trochę mnie zastanawia ten przykład bo \(\displaystyle{ Lin(A)}\) ma być podprzestrzenią zawierającą \(\displaystyle{ A}\)... Graficznie widać, że prosta przechodząca przez te punkty nie przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\). Chociaż \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2} \in \RR}\) i po podstawieniu \(\displaystyle{ 0}\) by pasowały i już sam nie wiem.

Ukryta treść:    

Czy wszystko wyżej jest źle i powłoką liniową zbioru \(\displaystyle{ A}\) w \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) jest \(\displaystyle{ Lin(A)=\RR^{2}}\)? A baza \(\displaystyle{ A}\) to na przykład \(\displaystyle{ (2x_{1},-x_{2})^{T},(x_{1},x_{2})^{T}}\)

[Jan Kraszewski]

Czy wszystko wyżej jest źle i powłoką liniową zbioru \(\displaystyle{ A}\) w \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) jest \(\displaystyle{ Lin(A)=\RR^{2}}\)?

Tak.

A baza \(\displaystyle{ A}\) to na przykład \(\displaystyle{ (2x_{1},-x_{2})^{T},(x_{1},x_{2})^{T}}\)

A co to?

Nie ma czegoś takiego jak "baza \(\displaystyle{ A}\)".

JK

[matematykiv]

Rzeczywiście, przecież baza musi być jakiejś przestrzeni, a \(\displaystyle{ A}\) to nie przestrzeń.

Zastanawia mnie tylko jedna rzecz, wiem, że to bez sensu i to widać z rysunku, ale dlaczego nie możemy podstawić sobie \(\displaystyle{ (0,0)}\) za \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\)?

[Jan Kraszewski]

Zastanawia mnie tylko jedna rzecz, wiem, że to bez sensu i to widać z rysunku, ale dlaczego nie możemy podstawić sobie \(\displaystyle{ (0,0)}\) za \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\)?

Ale o co chodzi? Bo nie rozumiem, o co pytasz.

JK

[matematykiv]

Jak algebraicznie pokazać, że powłoką liniową \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ \RR^{2}}\), a nie prosta przechodząca przez dwa punkty należące do \(\displaystyle{ A}\)?

[Jan Kraszewski]

Jak algebraicznie pokazać, że powłoką liniową \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ \RR^{2}}\),

Wystarczy zauważyć, że wektory \(\displaystyle{ (2,-1),(1,1)}\) są liniowo niezależne. W związku z tym generują dwuwymiarową podprzestrzeń \(\displaystyle{ \RR^2}\).

a nie prosta przechodząca przez dwa punkty należące do \(\displaystyle{ A}\)?

Przecież ta prosta nie jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \RR^2}\) !

JK

[matematykiv]

No właśnie, ja o tym wiem, wynika to z rysunku. Trzeba to sprawdzić po prostu jak w gimnazjum czyli zapisać to jako funkcję liniową i sprawdzić \(\displaystyle{ f(0)}\)?

[Jan Kraszewski]

To, że wektory są liniowo niezależne, sprawdzasz z definicji. I to zupełnie wystarcza. Natomiast to, że ta prosta nie jest podprzestrzenią liniową wynika z tego, że nie przechodzi ona przez \(\displaystyle{ (0,0)}\), co łatwo sprawdzić.

JK

[matematykiv]

Mam jeszcze jedno banalne pytanie związanie z bazami.

Jak wyznaczyć bazę podprzestrzeni \(\displaystyle{ W=L((0,1,0,1)^{T},(0,1,1,0)^{T},(0,0,-1,1)^{T})}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V=\RR^{4}}\)?

Już na oko widać, że drugi + trzeci wektor dają pierwszy, więc są liniowo zależne. To jak mam znaleźć bazę? Zgadnąć? Skąd będę wiedział, że znalazłem dobrą bazę?