Twierdzenie Lagrange'a

[max123321]

Funkcja \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) jest różniczkowalna i spełnia warunek \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}x^3f'\left( x\right)=1}\). Oblicz granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0+}f\left( x\right)-f\left( \tg\left( x\right) \right)}\)
stosując twierdzenie Lagrange'a.

Nie bardzo wiem, jak to tu zrobić.

[Premislav]

\(\displaystyle{ f(x)-f(\tg x))=(x-\tg x)f'(c_x)}\) z Lagrange'a. [gdzie \(\displaystyle{ c_x}\) jest pomiędzy \(\displaystyle{ x}\) a \(\displaystyle{ \tg x}\)).
Ponadto ze wzoru Taylora mamy:
\(\displaystyle{ \tg x=x+ \frac{x^3}{3}+o(x^3)}\)

[max123321]

No, ale we wzorze Lagrange'a mamy punkty. Jakieś \(\displaystyle{ a,b}\) należące do dziedziny. A \(\displaystyle{ x}\) to jest jakby zmienna. To jak możemy mówić o przedziale \(\displaystyle{ \left( x,\tg x\right)}\) skoro to są funkcje?

[Premislav]

Nie wiem, czy to w czymś przeszkadza. Ale w sumie to zdecydowanie na zbyt duże skróty myślowe poszedłem. Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x \in \left( 0, \frac \pi 4\right]}\). Wtedy \(\displaystyle{ 0<x<\tg x \le 1}\).
\(\displaystyle{ f}\) jest w szczególności różniczkowalna w \(\displaystyle{ [0,1]}\), więc z tw. Lagrange'a mamy \(\displaystyle{ f(\tg x)-f(x)=f'(c_x)(\tg x-x)}\)
dla pewnego \(\displaystyle{ c_x \in (x, \tg x)}\)
Dla każdego \(\displaystyle{ x}\) z powyższego przedziału znajdziemy takie \(\displaystyle{ c_x}\)
i oczywiście gdy \(\displaystyle{ x \rightarrow 0^+}\), to także \(\displaystyle{ \tg x \rightarrow 0^+}\), więc łatwo wywnioskować, że \(\displaystyle{ c_x}\) są dodatnie i \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+ }c_x=0}\)
Skoro \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}x^3 f'(x)=1}\), to
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+}(c_x)^3 f'(c_x)=1}\)
Natomiast \(\displaystyle{ f'(c_x)(\tg x-x)=[(c_x)^3 \cdot f'(c_x)] \cdot \frac{\tg x-x}{(c_x)^3}}\)
Pierwszy czynnik dąży do \(\displaystyle{ 1}\) z założeń zadania, zatem wystarczy policzyć granicę drugiego czynnika.
Zauważmy, że ponieważ \(\displaystyle{ x<c_x<\tgx}\), więc
\(\displaystyle{ \frac{\tg x-x}{\tg^3 x} \le \frac{\tg x-x}{(c_x)^3} \le \frac{\tg x-x}{x^3}}\)
Policz granice skrajnych wyrażeń i zastosuj twierdzenie o trzech funkcjach.
Jak nie przepadasz za zabawami ze wzorem Taylora, to możesz w tym celu po prostu zastosować regułę de l'Hospitala.

[max123321]

A skąd wiesz, że skoro \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}x^3 f'(x)=1}\), to \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+}(c_x)^3 f'(c_x)=1}\)? Chyba korzystasz tu z jakiejś własności.

Czyli generalnie postępowanie jest takie: ustalamy dowolnego \(\displaystyle{ x}\) z przedziału \(\displaystyle{ \left( 0, \frac{\pi}{4} \right]}\) i dla tego \(\displaystyle{ x}\) piszemy twierdzenie Lagrange'a dla funkcji \(\displaystyle{ f}\). Dostajemy pewne równanie i z jedną ze stron równania przechodzimy do granicy w zerze. I możemy przejść do granicy w zerze plus bo zero plus należy do przedziału \(\displaystyle{ \left( 0,\pi/4\right]}\) tak? A potem jeszcze \(\displaystyle{ c_x}\) szacujemy z trzech funkcji i De'lHospitala. Tak?

[Premislav]

A skąd wiesz, że skoro \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}x^3 f'(x)=1}\), to \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+}(c_x)^3 f'(c_x)=1}\)? Chyba korzystasz tu z jakiejś własności.

Ponieważ, jak już orzekłem, mamy \(\displaystyle{ x<c_x<\tg x}\), więc \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}c_x=0}\).
Gdyby nie było \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+}(c_x)^3 f'(c_x)=1}\), to nieprawdą byłoby więc, że
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}x^3 f'(x)=1}\) (a to jest część założeń zadania).

Co do ogólnej idei postępowania -tak.

[max123321]

No ok, ale czy nie korzystasz tutaj z jakiegoś przechodzenia w granicy do środka funkcji? W sensie czegoś takiego: Jeśli \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0+}f\left( x\right)=1}\) i \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0+}g\left( x\right)=0+}\) to \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0+}f\left( g\left( x\right) \right)=1}\), lub czegoś podobnego?

[Premislav]

No tak. Ale w tę stronę to jest oczywiste i wynika np. z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie.

[max123321]

Skoro \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}x^3 f'(x)=1}\), to
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+}(c_x)^3 f'(c_x)=1}\)

Czyli to wynika, z definicji Heinego tak?

[Premislav]

Zgadza się.