Strumień magnetyczny w kablu koncentrycznym

[BB-2]

Mam za zadanie obliczyć strumień magnetyczny koncentryczny w kablu koncentrycznym. Moje dane:
\(\displaystyle{ R_{1}=3 mm, R_{2}=8,5 mm, R_{3}=9mm, J=4 \frac{A}{mm ^{2} }}\)
Ponadto znam wyniki tych strumieni, ponieważ kabel został zanalizowany w programie komputerowym.
\(\displaystyle{ \phi_{ż1}=1,1525 \cdot 10^{-5} Wb}\)
\(\displaystyle{ \phi_{izo}=2,3066 \cdot 10^{-5} Wb}\)
\(\displaystyle{ \phi_{ż2}=7,3878 \cdot 10^{-7} Wb}\)
Podane wartości strumieni były obliczone w "osi X" dla danej żyły.
Mam też kilka wykresów i map rozkładów pół. Tutaj załączę tylko wykres i mapę indukcji magnetycznej bo wydaje mi się, że wystarczy. Są to jedne czwarte badanego kabla.

Mam ze wzorów analitycznych obliczyć strumienie magnetyczny i porównać ich wartości z tym, które mam obliczone z programu. Jednak nie specjalnie wiem jak to zrobić. Jedyny wzór jaki mi do głowy przychodzi to \(\displaystyle{ \phi=\int \vec{B} \cdot \vec{dS}}\). Jednak nie mam pojęcia jak się do tego zabrać, dlatego fajnie jakby ktoś jakoś pomógł, o co proszę.

[mdd]

Najpierw należy wyznaczyć rozkład \(\displaystyle{ B(r)}\) w kablu (na podstawie Prawa Ampère’a). Potem liczymy strumień tak jak np.

Kod: Zaznacz cały

http://slideplayer.pl/slide/419511/

- gdzie jest liczony strumień odpowiadający izolacji wewnętrznej kabla.

[BB-2]

To według tego co jest na slajdach indukcja według promienia to:
\(\displaystyle{ B(r)= \frac{ \mu_{0} }{2 \pi } \frac{I}{r}}\)
Wyliczam prąd:
\(\displaystyle{ I=J \cdot S = 4 \cdot \pi \cdot 3^{2}=36 \pi A}\)
Następnie korzystam już z wyprowadzonego wzoru na strumień magnetyczny ze slajdu 6, czyli:
\(\displaystyle{ \phi= \frac{ \mu_{0} \cdot I \cdot x}{2 \pi } \cdot ln \frac{a}{b}}\)
\(\displaystyle{ x}\) jeżeli dobrze odczytuje z rysunku to długość kabla, która u mnie wynosiła \(\displaystyle{ 1m}\)
Obliczam strumień w izolacji:
\(\displaystyle{ \phi= \frac{4 \pi \cdot 10 ^{-7} \cdot 36 \pi \cdot 1}{2 \pi } \cdot ln\frac{0,003}{0,009}=-2,3557 \cdot 10 ^{-5} Wb}\).
Czyli wynik porównywalny co do tego obliczonego w programie.
Nie wiem tylko jak obliczyć strumienie w wewnątrz żył. Mógłbyś coś podpowiedzieć? Bo nie wiem jak dość do tego z tych wyprowadzeń ze slajdów.

[mdd]

\(\displaystyle{ \Phi_{1}=x\int\limits_{0}^{R_{1}}B_{1}(r)dr}\)

\(\displaystyle{ \Phi_{2}=x\int\limits_{R_{2}}^{R_{3}}B_{2}(r)dr}\)

\(\displaystyle{ B_{1}(r), B_{2}(r)}\) wyznaczamy z Prawa Ampère’a.

-- 4 kwi 2017, o 18:05 --

\(\displaystyle{ \phi= \frac{ \mu_{0} \cdot I \cdot x}{2 \pi } \cdot ln \frac{a}{b}}\)

\(\displaystyle{ a>b}\)

Kod: Zaznacz cały

http://www.ittc.ku.edu/~jstiles/220/handouts/Example%20The%20B-Field%20of%20a%20Coaxial%20Transmission%20Line.pdf

, tyle że po angielsku, ale przynajmniej utrwali Ci się nazwa coaxial cabel, coaxial transmission line itp. - w sumie znajomość fachowego angielskiego słownictwa to bardziej praktyczna wiedza, niż znajomość Prawo Ampère’a - które wyfrunie z głowy prędzej czy później. Teraz bez języka trudno o dobrze płatną robotę. Mam nadzieję, że zbytnio nie demoralizuję młodzieży.

[BB-2]

Znalazłem jakiś podręcznik z AGH i według tego co tam jest napisane robiłbym tak:
Wybieram kontur kołowy w przewodniku o promieniu \(\displaystyle{ r<R}\) gdzie \(\displaystyle{ R}\) to promień przewodnika.
Prąd w konturze wynosiłby:
\(\displaystyle{ i=I \frac{ \pi r^{2} }{\pi R^{2}}=I \frac{r^{2}}{R^{2}}}\)
Następnie indukcja magnetyczna dla tego konturu:
\(\displaystyle{ B \cdot 2 \pi r=\mu_{0}i}\)
\(\displaystyle{ B= \frac{\mu_{0}\cdot I \cdot r^{2}}{ 2 \cdot\pi \cdot r \cdot R^{2}}=\frac{\mu_{0}\cdot I \cdot r}{ 2 \cdot\pi \cdot R^{2}}}\)
Liczę strumień:
\(\displaystyle{ \phi=x\int\limits_{0}^{r_{1}}B_{1}(r)dr=x\int\limits_{0}^{r_{1}}\frac{\mu_{0}\cdot I \cdot r}{ 2 \cdot\pi \cdot R^{2}}dr=\frac{\mu_{0}\cdot I \cdot x}{ 2 \cdot\pi \cdot R^{2}}\int\limits_{0}^{r_{1}}rdr=\frac{\mu_{0}\cdot I \cdot x}{ 2 \cdot\pi \cdot R^{2}} \cdot \frac{r_{1} ^{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \phi= \frac{4 \pi 10^{-7} \cdot 36 \pi \cdot 1 }{ 2 \cdot\pi \cdot 0,003^{2}} \cdot \frac{0,003 ^{2} }{2}=1,1309 \cdot 10^{-5} Wb}\)

Dobrze to zrobiłem?

[mdd]

Ok. Jest ok. Z małą uwagą, że dla materiału przewodnika \(\displaystyle{ \mu \approx \mu_o}\).

[BB-2]

Mógłbyś też dać jaką sugestię jak zabrać się do strumienia w drugiej żyle? Bo nie wiem jak wyznaczyć \(\displaystyle{ B(r)}\) przez te wymiary?

[mdd]

Ściąga podpowiada jak to zrobić (patrz wyżej).

[BB-2]

Gdzieś jej przypadkiem nie zauważyłem tego tekstu po edycji, a nawet fajnie i prosto jest tam to wytłumaczone. Jakbyś mógł to proszę abyś zerknął na te obliczenia czy gdzieś się nie walnąłem przypadkiem.
\(\displaystyle{ B= \frac{\mu_{0}\cdot I}{ 2 \cdot\pi \cdot r} \frac{ r^{2}- R_{2}^{2} }{R_{3}^{2}- R_{2}^{2}}=\frac{\mu_{0}\cdot I}{ 2 \cdot\pi \cdot (R_{3}^{2}- R_{2}^{2})} \frac{ r^{2}- R_{2}^{2} }{r}=\frac{\mu_{0}\cdot I}{ 2 \cdot\pi \cdot (R_{3}^{2}- R_{2}^{2})} \left( r- \frac{R_{2}^{2} }{r}\right)}\)
\(\displaystyle{ C=\frac{\mu_{0}\cdot I}{ 2 \cdot\pi \cdot (R_{3}^{2}- R_{2}^{2})}}\)
\(\displaystyle{ \phi=C\int\limits_{R_{2}}^{R_{3}}\left( r- \frac{R_{2}^{2} }{r}\right)=C \cdot \left( \frac{r^{2}}{2}-R_{2}^{2} \cdot ln(r)\right)}\)
\(\displaystyle{ \phi=C \cdot \left( \frac{0,009^{2}}{2}-\frac{0,0085^{2}}{2}\right) - 0,0085^{2} \cdot ln\left( \frac{0,009}{0,0085}\right)=C \cdot 2,453 \cdot 10^{-7}}\)
\(\displaystyle{ \phi=6,3412\cdot 10^{-7} Wb}\)

[mdd]

\(\displaystyle{ B= \frac{\mu_{0}\cdot I}{ 2 \cdot\pi \cdot r} \frac{ r^{2}- R_{2}^{2} }{R_{3}^{2}- R_{2}^{2}}=\frac{\mu_{0}\cdot I}{ 2 \cdot\pi \cdot (R_{3}^{2}- R_{2}^{2})} \frac{ r^{2}- R_{2}^{2} }{r}=\frac{\mu_{0}\cdot I}{ 2 \cdot\pi \cdot (R_{3}^{2}- R_{2}^{2})} \left( r- \frac{R_{2}^{2} }{r}\right)}\)

Coś jest nie tak. Dla \(\displaystyle{ r=R_3}\) powinno być \(\displaystyle{ B=0}\)

Liczę strumień:
\(\displaystyle{ \phi=x\int\limits_{0}^{r_{1}}B_{1}(r)dr=x\int\limits_{0}^{r_{1}}\frac{\mu_{0}\cdot I \cdot r}{ 2 \cdot\pi \cdot R^{2}}dr=\frac{\mu_{0}\cdot I \cdot x}{ 2 \cdot\pi \cdot R^{2}}\int\limits_{0}^{r_{1}}rdr=\frac{\mu_{0}\cdot I \cdot x}{ 2 \cdot\pi \cdot R^{2}} \cdot \frac{r_{1} ^{2} }{2}}\)

Pozwól, że tutaj się lekko przyczepię. Stosuj symbole wcześniej wprowadzone, tj. zamiast \(\displaystyle{ r_1}\) stosuj \(\displaystyle{ R_1}\), zamiast \(\displaystyle{ R}\) stosuj \(\displaystyle{ R_1}\) itd. bo się robi bałagan wielki.

[BB-2]

Poprawiłem, bardzo dziękuję za pomoc.

[mdd]

Poprawiłem

Ok, w Twoich notatkach. Tutaj na forum też by wypadało. Tu młodzież zagląda i się uczy.