Granica i ciągłość funkcji dwóch zmiennych

[Jumpeq]

Cześć, mam problem z rozwiązaniem następujących zadań:

Zadanie 1
Oblicz granicę
W tym przykładzie doszedłem do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)*xy}{\sqrt{x^2+y^2}*xy}}\)

wiemy, że \(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{sin(xy)}{xy}=1}\)

Zatem licząc dalej otrzymuję coś takiego:

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}}\)

Czy jest to dobre rozpisanie do tego momentu? Jeżeli nie to jak inaczej? Jeżeli tak to wiem że ten przykład mogę zrobić z Heinego, jednak nie za bardzo potrafię się tym posługiwać aby to dobrze obliczyć. Odpowiedź do tego zadania to granica z tego wyrażenia jest równa zero.

Zadanie 2
Zbadaj ciągłość funkcji
a) \(\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases} \frac{e^{xy}-e^y}{y} &\text{dla } (x,y) \neq (x,0) \\ x-1 &\text{dla } (x,y) =(x,0) \end{cases}}\)

b) \(\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2} &\text{dla } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 &\text{dla } (x,y) =(0,0) \end{cases}}\)

c) \(\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy(x+y)}{x^2+y^2} &\text{dla } (x,y) \neq (0,0) \\ \frac{1}{2} &\text{dla } (x,y) =(0,0) \end{cases}}\)

Wiem że w tych trzech podpunktach trzeba policzyć granicę dla \(\displaystyle{ 0^{+}}\) i \(\displaystyle{ 0^{-}}\) jednak aby to zrobić trzeba rozwiązać te granice, jeżeli wszystkie są z Heinego to nie wiem jakich przekształceń mam użyć aby to dobrze wyszło. W podpunkcie a) jest ciągła a w b) i c) nieciągła w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\).

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tych zadań
Pozdrawiam

[Premislav]

1. No mniej więcej OK, ale nie do końca. Istotnie prawdą jest, że
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin (xy)}{xy}=1}\), ale stąd wiesz na razie tyle, że
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin (xy)}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}}\)
o ile obie te granice istnieją (może się czepiam).

\(\displaystyle{ 0 \le\left|\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} \right|= \frac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}} \le \frac{x^2+y^2}{2 \sqrt{x^2+y^2} }=\frac 1 2\sqrt{x^2+y^2}}\)
i oczywiście \(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac 1 2\sqrt{x^2+y^2}=0}\),
więc z twierdzenia o trzech funkcjach mamy \(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}=0}\)
i z tw. o granicy iloczynu dostajemy \(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin (xy)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0}\)
2.
a) wyłącz \(\displaystyle{ e^y}\), skorzystaj z tw. o granicy iloczynu i ze znanej granicy
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{e^t-1}{t} =1}\).
Niestety chyba oddzielnie trzeba rozważyć punkt \(\displaystyle{ (1,0)}\).
b) nie jest ciągła w zerze, co będzie, gdy \(\displaystyle{ x=y \rightarrow 0}\) i \(\displaystyle{ xy \neq 0}\)?
c) też nie jest ciągła w zerze, kontrprzykład taki sam: co będzie, gdy np. \(\displaystyle{ x=y=\frac 1 n, n \rightarrow \infty}\)?

[Jumpeq]

\(\displaystyle{ 0 \le\left|\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} \right|= \frac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}} \le \frac{x^2+y^2}{2 \sqrt{x^2+y^2} }=\frac 1 2\sqrt{x^2+y^2}}\)

Mam pytanie odnośnie tych przejść, skąd wiesz że po lewej stronie dąży to do zera? I skąd po prawej stronie dodajesz sobie kwadraty w mianowniku? Czy to są przejścia typu "przekształcam i wstawiam to co mi się podoba aby pasowało do mianownika"? O to chodzi w tym przypadku?

2.
a) wyłącz \(\displaystyle{ e^y}\), skorzystaj z tw. o granicy iloczynu i ze znanej granicy
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{e^t-1}{t} =1}\).
Niestety chyba oddzielnie trzeba rozważyć punkt \(\displaystyle{ (1,0)}\).

W tym przypadku próbowałem tym sposobem ale nie wychodzi, otóż wygląda u mnie to następująco:

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(x,0)} \frac{e^{xy}-e^y}{y}=\lim_{(x,y)\to(x,0)} \frac{(e^{y})^{x}-e^y}{y} \lim_{(x,y)\to(x,0)} \frac{e^y((e^{y})^{x-1}-1)}{y}}\)

I co ja mam dalej z tym zrobić? Jak przekształcić \(\displaystyle{ (e^{y})^{x-1}}\)? Miałem podobny przykład do policzenia jako granicy, gdzie \(\displaystyle{ x \to 2}\) Po podstawieniu wyrażenie dążyło do \(\displaystyle{ 1}\) i mogłem zastosować to o czym napisałeś. Tutaj nie widzę jak to dalej zrobić.

b) nie jest ciągła w zerze, co będzie, gdy \(\displaystyle{ x=y \rightarrow 0}\) i \(\displaystyle{ xy \neq 0}\)?
c) też nie jest ciągła w zerze, kontrprzykład taki sam: co będzie, gdy np. \(\displaystyle{ x=y=\frac 1 n, n \rightarrow \infty}\)

To jest udowodnione przez kontrprzykład. Czyli w tych przypadkach nie trzeba badać co się dzieje w \(\displaystyle{ 0^{+}}\) i \(\displaystyle{ 0^{-}}\)? Czy oprócz kontrprzykładów można to jakoś rozpisać? Bo samo podanie ich jakoś nie utwierdza mnie w fakcie że dobrze rozumiem to zadanie.

[miodzio1988]

Mam pytanie odnośnie tych przejść, skąd wiesz że po lewej stronie dąży to do zera?

No nie wiesz, ze zero dąży do zera?

I skąd po prawej stronie dodajesz sobie kwadraty w mianowniku?

Nic nie dodaje tylko szacuje.

Czy to są przejścia typu "przekształcam i wstawiam to co mi się podoba aby pasowało do mianownika"? O to chodzi w tym przypadku?

Przekształca tak, żeby było poprawnie, a jednocześnie, żeby pasowało do mianownika

[Premislav]

W 2a) jak już doszedłeś do \(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(x,0)} \frac{e^y((e^{y})^{x-1}-1)}{y}}\) (zgubiłeś tam jeden znak równości), to zauważ, że gdy \(\displaystyle{ x \neq 1}\), możesz pomnożyć i podzielić przez \(\displaystyle{ x-1}\) i oczywiście \(\displaystyle{ y(x-1) \rightarrow 0}\) gdy \(\displaystyle{ x}\) ograniczone, a \(\displaystyle{ y \rightarrow 0}\). Nie możesz tak zrobić dla punktu \(\displaystyle{ (1,0)}\) - trzeba wówczas jeszcze oddzielnie rozważyć jedną prostą,
ale to nie jest wielki problem, bo gdy \(\displaystyle{ y \rightarrow 0, y\neq 0}\) oraz \(\displaystyle{ x=1}\), to
\(\displaystyle{ \frac{e^{xy}-e^y}{y}=0}\).

Co do 2b) i 2c), to nie masz tu żadnych \(\displaystyle{ 0^+}\) i \(\displaystyle{ 0^-}\), bo tu jest granica funkcji dwóch zmiennych. Nie wiem, co rozumiesz przez "rozpisanie".
Warunek ciągłości w \(\displaystyle{ (0,0)}\) (ogólniej w dowolnym punkcie płaszczyzny \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\))
jest taki, że \(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)=f(0,0)}\) (ogólniej \(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y)=f(x_0,y_0)}\)
Moje kontrprzykłady pokazują, że w 2b) i 2c) tak nie jest.

Jeszcze co do zadania 1. Zastosowałem taki fakt, że \(\displaystyle{ \lim_{)x,y) \to (x_0,y_0) }f(x,y)=0 \Leftrightarrow \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}|f(x,y)|=0}\)
Ponadto korzystam z nierówności \(\displaystyle{ |xy| \le \frac{|x|^2+|y|^2}{2}}\) (oczywiście w liczbach rzeczywistych \(\displaystyle{ |x|^2=x^2}\)), która powinna Ci być znana.