Nieborelowskie zbiory mierzalne

[Piotr Rutkowski]

Witam,

Jakiś czas temu natknąłem się na problem pokazania w zwartej formie jakiegoś zbioru mierzalnego w sensie Lebesgue'a, który nie jest borelowski. Takich zbirów powinno być relatywnie "dużo", ale niezwykle ciężko znaleźć konkretny przykład na prostej rzeczywistej (jest kilka przykładów, ale są one względnie topologiczne lub funkcyjne)

Problem:
Każdą liczbę \(\displaystyle{ r\in \mathbb{R}}\) utożsamimy z ciągiem liczb całkowitych tzn. \(\displaystyle{ (r=\{a_{1},a_{2},...\})\iff (r=a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{...}})}\) (tzn. przedstawienie za pomocą ułamków łańcuchowych). Niech \(\displaystyle{ A \subset \mathbb{R}}\) będzie takim zbiorem, że
\(\displaystyle{ \forall_{r\in A} \ (r=\{a_{1},a_{2},...\})\wedge (\forall_{i\in \mathbb{N}} \ a_{i}|a_{i+1})}\)

a)pokazać, że \(\displaystyle{ A}\) jest analityczny
b)pokazać, że \(\displaystyle{ A}\) nie jest borelowski

Jest to prawdopodobnie bardzo trudne zadanie, więc może ktoś zna odnośnik do pracy źródłowej. Z tego co pamiętam sam pomysł takiego zbioru pochodzi od Luzina z około 1920

Pozdrawiam
Piotr Rutkowski

[max]

Dowód Łuzina był podobno dziurawy.
Poprawny dowód jest ponoć w publikacji.

[przemk20]

No to może tak:
Niech \(\displaystyle{ X = [0,1], \ V \subseteq X}\) zbiór niemerzalny np. Vitalego.
Przez x(n) oznaczmy n-tą cyfrę w rozwinięciu dwójkowym liczby x.
Zdefiniujmy funkcje f następująco:
\(\displaystyle{ [f(x)](n) = x(2n+1)}\)
Niech \(\displaystyle{ E = \left\{ x : x(2n) = 1, \ n=1,2,... \right\},}\) wtedy \(\displaystyle{ \lambda(E) = 0.}\)
i ostatecznie naszym zbiorem jest \(\displaystyle{ F = E \cap f^{-1}(V),}\) którego miara = 0 i nie jest borelowski.
Pozdrawiam

[lelel555]

No to może tak:
Niech \(\displaystyle{ E = \left\{ x : x(2n) = 1, \ n=1,2,... \right\},}\) wtedy \(\displaystyle{ \lambda(E) = 0.}\)
i ostatecznie naszym zbiorem jest \(\displaystyle{ F = E \cap f^{-1}(V),}\) którego miara = 0 i nie jest borelowski.

Skąd wiemy, że jego miara jest 0?