Mamy sygnał \(\displaystyle{ x\left[ n\right] =a^n\mathbf{1}\left[ n\right]}\)
Wyznaczyć transofrmatę Fouriera \(\displaystyle{ X\left( e^{j\theta}\right)}\).
Jak to zrobić?
Wyznaczyć transformatę Fouriera
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 8035
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1707 razy
Wyznaczyć transformatę Fouriera
Z definicji transformaty Fouriera dla sygnału dyskretnego
\(\displaystyle{ X[e^{j\theta}] = \sum_{n=0}^{\infty}x[n]e^{-j\theta n}\cdot e^{j\theta}= \sum_{n=0}^{\infty}a^{n}\cdot 1[n]e^{-j\theta (n-1)} = \frac{a\cdot e^{j\theta}}{e^{j\theta}-a}, \ \ |a|< e^{Re (j\theta)}.}\)
\(\displaystyle{ X[e^{j\theta}] = \sum_{n=0}^{\infty}x[n]e^{-j\theta n}\cdot e^{j\theta}= \sum_{n=0}^{\infty}a^{n}\cdot 1[n]e^{-j\theta (n-1)} = \frac{a\cdot e^{j\theta}}{e^{j\theta}-a}, \ \ |a|< e^{Re (j\theta)}.}\)
-
kalwi
- Użytkownik
- Posty: 1912
- Rejestracja: 29 maja 2009, o 11:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 145 razy
- Pomógł: 320 razy
Wyznaczyć transformatę Fouriera
Huh? Co to za farmazony?
\(\displaystyle{ X\left( e^{j\theta}\right) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x\left[ n\right] e^{-jn\theta}= \sum_{n=-\infty}^{\infty} a^n\mathbf{1}\left[ n\right] e^{-jn\theta}= \sum_{n=0}^{\infty} a^n e^{-jn\theta}= \\ =\sum_{n=0}^{\infty} \left( a e^{-j\theta}\right)^n=\frac{1}{1-ae^{-j\theta}} \\ \\
\left| ae^{-j\theta}\right| =\left| a\right| \left| e^{-j\theta}}\right| =\left| a\right| <1}\)
\(\displaystyle{ X\left( e^{j\theta}\right) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x\left[ n\right] e^{-jn\theta}= \sum_{n=-\infty}^{\infty} a^n\mathbf{1}\left[ n\right] e^{-jn\theta}= \sum_{n=0}^{\infty} a^n e^{-jn\theta}= \\ =\sum_{n=0}^{\infty} \left( a e^{-j\theta}\right)^n=\frac{1}{1-ae^{-j\theta}} \\ \\
\left| ae^{-j\theta}\right| =\left| a\right| \left| e^{-j\theta}}\right| =\left| a\right| <1}\)