Wykaż, że jeśli k jest większe od zera, to nierówność

[yoko]

\(\displaystyle{ k>0}\), to

\(\displaystyle{ \frac{2}{k +2} \ge \frac{k + 2}{ k^{2}+4 }}\)

Czy dobrze rozwiązałam?

\(\displaystyle{ \frac{2}{k +2} \ge \frac{k + 2}{ k^{2}+4 } / k + 2 \\
2 \ge \frac{\left( k + 2\right) ^{2} }{ k^{2} +4} / k ^{2}+4 \\
2\left( k ^{2} +4 \right) \ge \left( k +2\right) ^{2} \\
2k ^{2}+8 \ge k ^{2}+2k+4 \\
2k ^{2}+8 -k ^{2}-2k-4 \ge 0 \\
k ^{2}-2k+4 \ge 0 \\
\left( k -2\right) ^{2} \ge 0}\)
Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, zatem ostatnia nierówność i wszystkie wcześniejsze są prawdziwe.

Czy to jest ok?

[Premislav]

\(\displaystyle{ 2\left( k ^{2} +4 \right) \ge \left( k +2\right) ^{2}}\)

do tego miejsca poprawnie, a potem:

\(\displaystyle{ 2k ^{2}+8 \ge k ^{2}+2k+4}\)

jest błąd. Nie tak wygląda wzór na kwadrat sumy. Natomiast parzyście wiele razy się pomyliłaś (we wzorze na kwadrat sumy i potem w zwinięciu do wzoru na kwadrat różnicy), więc
tak się składa, że i tak wyjściowa nierówność sprowadza się do
\(\displaystyle{ (k-2)^2 \ge 0}\), lecz nie w taki sposób, jak napisałaś.

[yoko]

No tak powinno być
\(\displaystyle{ k ^{2}+4k +4}\)

A w zwinięciu powino hyć
\(\displaystyle{ k ^{2} -4k +4}\)
A ogólnie dobrze, tak?

[Premislav]

Zgadza się, to był jedyny błąd.

[yoko]

Dziękuję