Policzyć granice funkcji, lub pokazać, że nie istnieje.

[edytka96]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty , y\to \infty } \frac{x+y}{x^{2}-xy+y^{2}}}\)

Jak się za to zabrać? Bo gdy x,y zbiegają do 0, to przy wykazaniu, że granica funkcji nie istnieje biorę 2 ciągi zbieżne do 0 i sprawdzam zbieżność wartości na tych ciągach. Czy tutaj jest analogicznie?

[Premislav]

Czyli masz na myśli granicę iterowaną?
\(\displaystyle{ (x-y)^2 \ge 0\\x^2-xy+y^2 \ge xy\\0< \frac{x+y}{x^{2}-xy+y^{2}} \le \frac{x+y}{xy}= \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}}\)
dla \(\displaystyle{ x,y>0}\).

[PiotrowskiW]

Współrzędne biegunowe:
\(\displaystyle{ x=rcos alpha ~y=rsin alpha \
r in [0,+ infty )\ ~alpha in[0,2pi)}\)

\(\displaystyle{ \lim_{r \to 0 } \frac{r\left( \cos \alpha +\sin \alpha\right) }{r(r-\cos \alpha \cdot \sin \alpha )}= \lim_{ r\to 0 } \frac{1}{r-\cos \alpha \cdot \sin \alpha }}\)

a co dalej, to jest tutaj 203305.htm

[edytka96]

A jak mam taką granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y) \to (0,0 } (x^{2}+y^{2})^{x^{2}y^{2}}}\)

[Premislav]

Dla \(\displaystyle{ (x,y) \neq (0,0)}\) mamy
\(\displaystyle{ (x^2+y^2)^{x^2y^2}=e^{x^2y^2\ln(x^2+y^2)}}\)
Granicą wykładnika jest zero: gdy \(\displaystyle{ 0<x^2+y^2<1}\), to:
\(\displaystyle{ \ln(x^2+y^2)<0\\ x^2y^2 \le \left(\frac{x^2+y^2}{2}\right)^2 \le x^2+y^2\\0 \ge x^2y^2 \ln(x^2+y^2) \ge (x^2+y^2)\ln(x^2+y^2)}\)

A przecież \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0^+}t \ln t=0}\). Czyli na mocy tw. o trzech funkcjach granica wykładnika jest równa zero. Ostateczny wynik: \(\displaystyle{ e^0=1}\)

[Dilectus]

Premislav, kopara mi opadła. Pięknie to rozwiązałaś.

[Premislav]

Dilectus, dziękuję za uznanie, ale to tylko dobra znajomość schematów, która wynika z dużej liczby przeliczonych przykładów. Myślę, że w miarę bystrego szympansa można by nauczyć szybkiego rozwiązywania takich zadań, a tym bardziej dowolnego człowieka (choć przypominając sobie niektórych kolegów z podstawówki, zaczynam mieć wątpliwości ).
Pozdrawiam.

[edytka96]

Premislav, skąd wiadomo, że granica wykładnika jest zero, gdy \(\displaystyle{ 0<x^2+y^2<1}\)

[Premislav]

Wydawało mi się, że wyżej to uzasadniłem.
Chodzi oczywiście o \(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)}x^2y^2 \ln(x^2+y^2)}\). Oszacowałem z góry i z dołu przez takie funkcje, których granica w zerze jest równa zero (szacowanie nie musi być prawdziwe dla wszystkich \(\displaystyle{ (x,y)}\) rzeczywistych i tu istotnie tak nie jest - wystarczy by szacowania działały w pewnym otoczeniu rozważanego punktu, tutaj jest to punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\); ograniczyłem się do koła jednostkowego). Twierdzenie o trzech funkcjach chyba jest Ci znane?

To, że \(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)} (x^2+y^2)\ln(x^2+y^2)=0}\) wynika właśnie z dość znanego faktu, że \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0^+}t\ln t=0}\) (oczywiście mamy \(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)}(x^2+y^2)=0}\)), można zapisać
\(\displaystyle{ t\ln t= \frac{\ln t}{ \frac{1}{t} }}\) i zastosować tw. de l'Hospitala, żeby to uzasadnić (choć istnieją też bardziej elementarne/eleganckie dowody).

Zdziwiłem się tym pytaniem, prędzej spodziewałbym się pytań o to, skąd się biorą te nierówności, które napisałem. Chyba wiesz, że przy pomnożeniu nierówności stronami przez liczbę ujemną zmienia się znak, stąd gdy \(\displaystyle{ 0<x^2+y^2<1}\) i \(\displaystyle{ x^2y^2 \le x^2+y^2,}\) to
\(\displaystyle{ x^2y^2 \ln(x^2+y^2) \ge (x^2+y^2)\ln(x^2+y^2)}\).
No a tamta nierówność \(\displaystyle{ x^2y^2 \le \left( \frac{x^2+y^2}{2} \right)^2}\) wynika z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną, ale jeśli wolisz, to można też ją zwinąć do \(\displaystyle{ (x^2-y^2)^2\ge 0}\).