Witam.
Potrzebuję pomocy w rozwiązaniu zadania o treści:
Podać dowolną parametryzację regularną krzywej \(\displaystyle{ C}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) będącej wykresem funkcji \(\displaystyle{ \varphi(x)=e^x}\).
EDIT:
To będzie coś takiego?
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=e^t\\x=t\end{cases}}\)
Podać parametryzację regularną krzywej
-
Michal99
- Użytkownik
- Posty: 95
- Rejestracja: 12 wrz 2010, o 17:27
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 49 razy
Podać parametryzację regularną krzywej
Dziękuję.
Czy zapisane poniżej kroki są prawidłowe w celu wyznaczenia krzywizny tej krzywej?
\(\displaystyle{ t \rightarrow (t, e^t)\\\left| f'(t)\right|=\left| (1,e^t)\right|= \sqrt{1+e^{2t}}\\s=s(t)= \int_{0}^{t}\sqrt{1+e^{2t}} d\sigma=t\cdot \sqrt{1+e^{2t}}\\k(s)=\left| f''(s)\right|}\)
Tylko po czym jest liczona pochodna \(\displaystyle{ f''(s)}\)?
Czy zapisane poniżej kroki są prawidłowe w celu wyznaczenia krzywizny tej krzywej?
\(\displaystyle{ t \rightarrow (t, e^t)\\\left| f'(t)\right|=\left| (1,e^t)\right|= \sqrt{1+e^{2t}}\\s=s(t)= \int_{0}^{t}\sqrt{1+e^{2t}} d\sigma=t\cdot \sqrt{1+e^{2t}}\\k(s)=\left| f''(s)\right|}\)
Tylko po czym jest liczona pochodna \(\displaystyle{ f''(s)}\)?
-
Michal99
- Użytkownik
- Posty: 95
- Rejestracja: 12 wrz 2010, o 17:27
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 49 razy
Podać parametryzację regularną krzywej
Najpierw mamy parametryzację krzywej \(\displaystyle{ \varphi(x)=e^x}\):
\(\displaystyle{ t \rightarrow f(t)=(t, e^t)}\)
Następnie sprawdzenie, czy sparametryzowana krzywa jest regularna (jeżeli w każdej chwili \(\displaystyle{ t}\) wektor prędkości jest niezerowy, czyli prędkość \(\displaystyle{ \left| f'(t)\right| \neq 0}\)). Z obliczeń wyszło \(\displaystyle{ \sqrt{1^2+(e^t)^2}= \sqrt{1+e^{2t}}}\).
Potem wyznaczam parametryzację naturalną \(\displaystyle{ s}\) do wyznaczenia krzywizny \(\displaystyle{ k(s)=\left| f''(s)\right|}\)
\(\displaystyle{ t \rightarrow f(t)=(t, e^t)}\)
Następnie sprawdzenie, czy sparametryzowana krzywa jest regularna (jeżeli w każdej chwili \(\displaystyle{ t}\) wektor prędkości jest niezerowy, czyli prędkość \(\displaystyle{ \left| f'(t)\right| \neq 0}\)). Z obliczeń wyszło \(\displaystyle{ \sqrt{1^2+(e^t)^2}= \sqrt{1+e^{2t}}}\).
Potem wyznaczam parametryzację naturalną \(\displaystyle{ s}\) do wyznaczenia krzywizny \(\displaystyle{ k(s)=\left| f''(s)\right|}\)
-
Michal99
- Użytkownik
- Posty: 95
- Rejestracja: 12 wrz 2010, o 17:27
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 49 razy
Podać parametryzację regularną krzywej
Będzie to całka oznaczona po \(\displaystyle{ \mbox{d}t}\)? Wtedy wyjdzie zupełnie coś innego.
\(\displaystyle{ \int_{0}^{t} \sqrt{1+e^{2t}} \mbox{d}t}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{t} \sqrt{1+e^{2t}} \mbox{d}t}\)
Ostatnio zmieniony 9 mar 2017, o 18:21 przez Michal99, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Michal99
- Użytkownik
- Posty: 95
- Rejestracja: 12 wrz 2010, o 17:27
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 49 razy
Podać parametryzację regularną krzywej
Nie jestem pewny czy jest to do końca poprawny wynik:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{t} \sqrt{1+e^{2t}}= \frac{1}{3}e^{-2t} \cdot t^{ \frac{3}{2} }}\)
Czyli mam policzoną długość łuku krzywej. Co dalej?
EDIT:
Liczę \(\displaystyle{ k(s)=\left| f''(s)\right|}\) podstawiając w wyniku całki za \(\displaystyle{ t}\) zmienną \(\displaystyle{ s}\)? Liczę pochodną drugiego rzędu z wyniku całkowania po \(\displaystyle{ \mbox{d}s}\)?
\(\displaystyle{ \int_{0}^{t} \sqrt{1+e^{2t}}= \frac{1}{3}e^{-2t} \cdot t^{ \frac{3}{2} }}\)
Czyli mam policzoną długość łuku krzywej. Co dalej?
EDIT:
Liczę \(\displaystyle{ k(s)=\left| f''(s)\right|}\) podstawiając w wyniku całki za \(\displaystyle{ t}\) zmienną \(\displaystyle{ s}\)? Liczę pochodną drugiego rzędu z wyniku całkowania po \(\displaystyle{ \mbox{d}s}\)?