Pokazać, że funkcja ma tylko pochodną w punkcie

[vonblackowitz]

Pokazać, że funkcja:

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} x^{2}&\hbox{dla }x\mbox{ wymiernych} \\ 0 &\hbox{dla }x\mbox{ niewymiernych} \end{cases}}\)

ma pochodną tylko w punkcie \(\displaystyle{ x=0}\).

Całkowicie nie wiem jak te zadanie zrobić, ktoś pomoże?

[Premislav]

Spróbuj z definicji pochodnej. Wskazówka:
dla każdego \(\displaystyle{ x_0 \in \RR}\) istnieje zarówno ciąg liczb niewymiernych zbieżny do \(\displaystyle{ x_0}\), jak i ciąg liczb wymiernych zbieżny do \(\displaystyle{ x_0}\). Poza \(\displaystyle{ x_0=0}\) będziesz mógł więc, jak się okaże, dobrać takie ciągi \(\displaystyle{ (x_n),(y_n)}\) zbieżne do \(\displaystyle{ x_0}\) (jeden - liczb wymiernych, drugi - liczb niewymiernych), by
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0} \neq \lim_{n \to \infty } \frac{f(y_n)-f(x_0)}{y_n-x_0}}\)

[Jan Kraszewski]

No i trzeba jeszcze pokazać, że w zerze jest dobrze.

JK