Otwartość i domkniętość zbioru.

[edytka96]

No nie może być otwartym (tak mi się wydaje), jednak jak napiszę tak na kole, to gwarantowana poprawka.

[tomwanderer]

A czy była u Ciebie na wykładzie własność mówiąca o tym, że \(\displaystyle{ A}\) otwarty \(\displaystyle{ \Leftrightarrow A=intA}\)? Tak się łatwo sprawdza.

[szw1710]

Ale w wyznaczeniu wnętrza i tak ingerują kule, więc posługujesz się chyba tautologią (rozumiem ją teraz w sensie lingwistycznym, nie matematycznym).

Ukryta treść:    

U mnie na wykładzie ta własność była.

[edytka96]

Miałam taką własność... to dobrze rozumiem, że A nie jest otwarty, ponieważ \(\displaystyle{ intA = \emptyset}\)

-- 4 mar 2017, o 23:47 --

a odnośnie kul, to wystarczy podać konkretny punkt z \(\displaystyle{ A}\) i dowolny promień i pokazać, że nie spełniają tego wszystkie punkty z prostej, a tylko ich część, a dokładniej, że istnieją punkty spoza zbioru \(\displaystyle{ A}\) w \(\displaystyle{ \mathbb {R}^{2}}\), które należą do kuli? (nie wiem jak to inaczej słownie opisać)

[szw1710]

Miałam taką własność... to dobrze rozumiem, że A nie jest otwarty, ponieważ \(\displaystyle{ intA = \emptyset}\)

To nie działa w przypadku, gdy \(\displaystyle{ A=\emptyset}\). Jest to jedyny zbiór otwarty o pustym wnętrzu.

[edytka96]

A co w sytuacji, gdy mam metrykę miejską \(\displaystyle{ (\RR^2,d_{+})}\)
i zbiór \(\displaystyle{ A=\left\{ (x,y)\in \RR^{2}; x^{2}-3xy^{3}+y^{4} \ge 1\right\}}\)

Jak się za to zabrać?

[szw1710]

Ta metryka jest równoważna euklidesowej, więc topologie są identyczne. Możesz wykazać, że \(\displaystyle{ A}\) jest (nie jest) otwarty (domknięty) najzwyczajniej w świecie. W metryce euklidesowej kule to koła, zaś w miejskiej (taksówkowej) kwadraty ustawione na sztorc. W kole zawsze jest taki kwadrat, a w nim mniejsze koło, skąd wynika równoważność obu metryk.

[edytka96]

To znaczy, że nie taki diabeł straszny, jak go malują.
A jak mam np. metrykę maksimum, w której koło jest również kwadratem, ale równoległym do osi, to również dowodzę jak w euklidesowej?

[szw1710]

Ta metryka też jest równoważna metryce euklidesowej.

Jest takie twierdzenie, że w \(\displaystyle{ \RR^n}\) wszystkie normy są równoważne. Wszystkie trzy metryki pochodzą od norm, więc są równoważne. Co to znaczy, że metryka pochodzi od normy? Jeśli \(\displaystyle{ \|\cdot\|}\) jest normą, to \(\displaystyle{ d(x,y)=\|x-y\|}\) jest metryką. W drugą stronę, \(\displaystyle{ \|x\|=d(x,0)}\). Bardzo intuicyjne. Jeśli traktujemy \(\displaystyle{ x}\) jako wektor swobodny, to zaczepiając go w początku układu, jego długość to odległość między końcami.