kres górny i dolny zbioru liczbowego

[karol235]

Oblicz kres górny i dolny zbioru liczbowego:

\(\displaystyle{ B=\left\{ \frac{x+2}{\left| x\right|+1 }: x \in \RR \right\}}\)

[Premislav]

Kres górny:
\(\displaystyle{ \frac{x+2}{|x|+1} \le \frac{
|x|+2}{|x|+1}=1+ \frac{1}{|x|+1} \le 2}\)
i równość w obu nierównościach zachodzi dla \(\displaystyle{ x=0}\).

Kres dolny:
\(\displaystyle{ \frac{x+2}{|x|+1} \ge \frac{-|x|+2}{|x|+1}= \frac{-|x|-1+3}{|x|+1}=-1+ \frac{3}{|x|+1}>-1}\)
Ponadto \(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty}\frac{x+2}{\left| x\right|+1 }=-1}\),
więc \(\displaystyle{ -1}\) jest kresem dolnym tego zbioru.

Podsumowanie: kres górny to \(\displaystyle{ 2}\), zaś kres dolny jest równy \(\displaystyle{ -1}\).