Granica ciągu

[darkknight]

Dlaczego jak ? nie rozumiem jak zrobił to wolfram...

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{3^{n-1} + (-2)^{n}}{3^{n+1} +(-2)^{n+2}} = \frac{1}{9} (?????)}\)

[RCCK]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{3^{n-1} + (-2)^{n}}{3^{n+1} +(-2)^{n+2}} = \lim_{ n\to \infty } \frac{3^{n} \cdot \frac{1}{3} + (-2)^{n}}{3^{n} \cdot 3 +(-2)^{n} \cdot 4}}\)

Teraz podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ 3^{n}}\)

[darkknight]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{3^{n-1} + (-2)^{n}}{3^{n+1} +(-2)^{n+2}} = \lim_{ n\to \infty } \frac{3^{n} \cdot \frac{1}{3} + (-2)^{n}}{3^{n} \cdot 3 +(-2)^{n} \cdot 4}}\)

Teraz podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ 3^{n}}\)

Jak podzielimy do dostaniemy:
\(\displaystyle{ = \lim_{ n\to \infty } \frac{1 + 3\cdot \left(\frac{-2}{3} \right)^{n}}{9+12\cdot\left(\frac{-2}{3}\right)^{n}}}\)
Jak dalej to ma się skrucic ? mamy przeciez wspolczynniki 3 i 4 ktore nie sa podzielne. w mianowniku i liczniku mamy rozne wartosci.-- 26 lut 2017, o 13:48 --

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{3^{n-1} + (-2)^{n}}{3^{n+1} +(-2)^{n+2}} = \lim_{ n\to \infty } \frac{3^{n} \cdot \frac{1}{3} + (-2)^{n}}{3^{n} \cdot 3 +(-2)^{n} \cdot 4}}\)

Teraz podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ 3^{n}}\)

Jak podzielimy do dostaniemy:
\(\displaystyle{ = \lim_{ n\to \infty } \frac{1 + 3\cdot \left(\frac{-2}{3} \right)^{n}}{9+12\cdot\left(\frac{-2}{3}\right)^{n}}}\)
Jak dalej to ma się skrucic ? mamy przeciez wspolczynniki 3 i 4 ktore nie sa podzielne. w mianowniku i liczniku mamy rozne wartosci.

Już rozumiem! \(\displaystyle{ \left(\frac{-2}{3}\right)^{n}}\) dąży do zera. Dzięki