Wykazać zbieżność jednostajną szeregu - kryterium Abela

[malgoskk]

Mam pokazać zb. jednostajną (stosując kryterium Abela)następującego szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left( 1+ \frac{x}{n} \right)^n x^n}\) na przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 0, \frac{3}{4} \right\rangle}\)

[Premislav]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }x^n}\) jest zbieżny jednostajnie na przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 0, \frac{3}{4} \right\rangle}\), zaś dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0, \frac{3}{4} \right\rangle}\) ciąg \(\displaystyle{ f_n(x)=\left( 1+ \frac{x}{n} \right)^n}\) jest niemalejący, co wynika z nierówności Bernoulliego, ponadto
\(\displaystyle{ \left| \left( 1+ \frac{x}{n} \right)^n \right| = \left( 1+ \frac{x}{n} \right)^n \le e^{\frac 3 4}<\infty}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0, \frac{3}{4} \right\rangle}\) oraz \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\)

-- 24 lut 2017, o 17:06 --

Oczywiście to, że ciąg \(\displaystyle{ f_n(x)}\) (przy ustalonym \(\displaystyle{ x}\)) jest rosnący, trzeba własnie wykazać z nierówności Bernoulliego, a nie tylko tak napisać. W razie problemów pomogę... Ale spróbuj sama.

[malgoskk]

To mi wystarczy.
Jeszcze tylko małe pytanie.
Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}x^n}\) jest jednostajnie zbieżny na przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 0, \frac{3}{4} \right\rangle}\), ponieważ

\(\displaystyle{ a_n=\sup_{x \in \left\langle 0, \frac{3}{4} \right\rangle }\left| x^n\right|=\left( \frac{3}{4} \right)^n}\)
a
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{3}{4} \right)^n=0}\)

[Premislav]

To nie jest DO KOŃCA Poprawne uzasadnienie. To się zgadza:

\(\displaystyle{ a_n=\sup_{x \in \left\langle 0, \frac{3}{4} \right\rangle }\left| x^n\right|=\left( \frac{3}{4} \right)^n}\)

a następnie można powołać się na kryterium Weierstrassa, bo szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{3}{4} \right)^n}\)
jest zbieżny (jako szereg geometryczny o ilorazie mniejszym co do wartości bezwzględnej od \(\displaystyle{ 1}\)).

[malgoskk]

No i teraz wszystko jasne:)