Optymalizacja - pole trójkąta

[dikhroos]

Niech \(\displaystyle{ p>0}\) oznacza liczbę rzeczywistą.Niech \(\displaystyle{ P=(p;0,5 p^{2})}\) i niech \(\displaystyle{ Q=(q;0.5q^{2})}\) przy czym styczne do paraboli \(\displaystyle{ y=0.5x^{2}}\) w punktach\(\displaystyle{ P}\) oraz \(\displaystyle{ Q}\) są prostopadłe. Wyznacz \(\displaystyle{ q}\) w zależności od \(\displaystyle{ p}\) oraz punkt wspólny tych stycznych \(\displaystyle{ R}\). Znajdź \(\displaystyle{ p>0}\) dla której pole trójkąta \(\displaystyle{ PQR}\) jest najmniejsze lub wykaż, że taka liczba nie istnieje. Wyznaczyłem już współrzędne tych trzech punktów \(\displaystyle{ Q=( \frac{-1}{p}; \frac{-1}{2p ^{2} })}\) oraz \(\displaystyle{ R=( \frac{p ^{2}-1 }{2p};-0.5)}\). Jedyny pomysł to liczenie iloczynu wektorowego by znaleźć pole trójkąta i dalej pochodna... ale przy takich punktach to dość karkołomne... jest inny sposób ?

[samorajp]

Zauważ, że trójkąt \(\displaystyle{ PQR}\) jest prostokątny! Nie jest tak tragicznie!

[dikhroos]

No wiem, że prostokątny, ale mimo tego wciąż chyba jestem ślepy ? Czyli muszę policzyć długości odcinków \(\displaystyle{ PR}\) \(\displaystyle{ QR}\) czyli przyprostokątnych ? Innej rady nie ma ?

[samorajp]

No lepsze to niż iloczyn wektorowy, ale rozumiem Twój ból. Już jak masz punkty to policzenie tych odległości to dla Ciebie drobnostka (

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=50WbO2nrraE

).

Chciałbym Ci powiedzieć, że da się jakoś ładniej, ale nie umiem (przeliczyłem całe zadanko tak jak Ty i na nic nie wpadłem). Jedyne co mogę zrobić, to pokazać ładną animację, która udziela odpowiedzi.



-- 23 lutego 2017, 21:04 --

PS. W obliczonej przez Ciebie drugiej współrzędnej punktu \(\displaystyle{ Q}\), wkradł się minus.

-- 23 lutego 2017, 21:07 --

PS2. Szczęśliwie funkcja celu uprasza się do czegoś postaci: \(\displaystyle{ (p + \frac{1}{p})^6}\), przez co widać, że \(\displaystyle{ p=1}\) jest argumentem w którym jest ekstremum.
Wolfram proof: https://tinyurl.com/j7nxnhu