Witam,
mam problem z wyliczeniem normy indukowanej macierzy. Zdana jest ona wzorem \(\displaystyle{ ||A||=max\left\{ \frac{||Ax||}{||x||} x\in\RR^N,x \neq 0\right\}=\left\{ max_{||x||=1}{||Ax||\right\}}\).
Jak to wyliczyc np dla macierzy:\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{bmatrix}}\)?
Z góry dziękuję za pomoc i pozdrawiam
Norma macierzy indukowanej
-
- Użytkownik
- Posty: 67
- Rejestracja: 17 paź 2010, o 17:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 9 razy
Norma macierzy indukowanej
Powiem szczerze, że nie jestem do końca pewny, podam pełną treść zadania to może to rozwieje wątpliwość. Wzór mam podany taki jak napisałem w pierwszym poście a dokładne polecenie to:
Przez normę macierzy rozumieć będziemy normę indukowaną przez normę Euklidesową wektorów. Znajdz normy i promienie spektralne macierzy.
Promień spektralny myślę, że nie bedzie problemem ale do jego polczenia również potrzebuje tej normy.
Przez normę macierzy rozumieć będziemy normę indukowaną przez normę Euklidesową wektorów. Znajdz normy i promienie spektralne macierzy.
Promień spektralny myślę, że nie bedzie problemem ale do jego polczenia również potrzebuje tej normy.
-
- Użytkownik
- Posty: 65
- Rejestracja: 18 lis 2008, o 18:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 11 razy
Norma macierzy indukowanej
Sam tego nie wiedziałem, ale w internetach znalazłem, że norma druga (Euklidesowa) macierzy, jest równa pierwiastkowi z największej wartości własnej macierzy \(\displaystyle{ A^T A.}\)
Popularnym sposobem na znalezienie wartości własnych macierzy \(\displaystyle{ M}\) jest stworzenie macierzy \(\displaystyle{ M - \lambda I}\), czyli odjęcie od wyrazów na głównej przekątnej niewiadomej \(\displaystyle{ \lambda}\), a następnie policzenie wyznacznika tej macierzy. Wyznacznik ten będzie wielomianem zmiennej \(\displaystyle{ \lambda}\). Miejsca zerowe tego wielomianu (nosi on nazwę wielomianu charakterystycznego) są wartościami własnymi macierzy \(\displaystyle{ M}\).
Taką procedurę możesz zastosować do macierzy \(\displaystyle{ A^T A}\), wtedy pierwiastek kwadratowy z największego z miejsc zerowych jest odpowiedzią na pytanie o normę macierzy \(\displaystyle{ A}\).-- 18 lutego 2017, 22:31 --Dodatek.
Odpowiedź możesz sprawdzić w WolframAlpha: ... ,1,2%5D%5D
Kroki pośrednie również możesz tam sprawdzić (np. postać wielomianu charakterystycznego).
Przykład: ... ,1,2%5D%5D
Popularnym sposobem na znalezienie wartości własnych macierzy \(\displaystyle{ M}\) jest stworzenie macierzy \(\displaystyle{ M - \lambda I}\), czyli odjęcie od wyrazów na głównej przekątnej niewiadomej \(\displaystyle{ \lambda}\), a następnie policzenie wyznacznika tej macierzy. Wyznacznik ten będzie wielomianem zmiennej \(\displaystyle{ \lambda}\). Miejsca zerowe tego wielomianu (nosi on nazwę wielomianu charakterystycznego) są wartościami własnymi macierzy \(\displaystyle{ M}\).
Taką procedurę możesz zastosować do macierzy \(\displaystyle{ A^T A}\), wtedy pierwiastek kwadratowy z największego z miejsc zerowych jest odpowiedzią na pytanie o normę macierzy \(\displaystyle{ A}\).-- 18 lutego 2017, 22:31 --Dodatek.
Odpowiedź możesz sprawdzić w WolframAlpha:
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input/?i=n
Kroki pośrednie również możesz tam sprawdzić (np. postać wielomianu charakterystycznego).
Przykład:
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input/?i=m
-
- Użytkownik
- Posty: 67
- Rejestracja: 17 paź 2010, o 17:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 9 razy
Norma macierzy indukowanej
Dzieki wielkie za opowiedź, jak policzyć wartości własne to potrafię. Tylko, że z tego co wiem inny jest wzór na normę macierzy symetrycznej a inny dla macierzy niesymetrycznej. Ten co mi podałeś czyli \(\displaystyle{ \sqrt{\lambda_{max}(A^{T}A)}}\) tyczy się symetrycznej czy niesymetrycznej? W tym przykładzie co podałem macierz jest symetryczna lecz znalazłem jeszcze wzór, że dla symetrycznych i rzeczywistych bedzie to \(\displaystyle{ \left| \lambda_{max}A\right|}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 65
- Rejestracja: 18 lis 2008, o 18:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 11 razy
Norma macierzy indukowanej
Nie dam sobie ręki uciąć, ale moja intuicja mówi tak:
Jeśli macierz jest symetryczna, to wszystkie wartości własne są rzeczywiste, więc Twój wzór \(\displaystyle{ \left| \lambda_{max}A\right|}\), ma sens i jest lepszy, bo wymaga mniej liczenia.
Natomiast wzór podany przeze mnie działa w ogólnym przypadku i korzysta z Twojego, wytwarzając najpierw macierz symetryczną \(\displaystyle{ A^T A}\), a potem stosuje dla niej \(\displaystyle{ \left| \lambda_{max}B\right|}\), gdzie \(\displaystyle{ B=A^T A}\). Pierwiastek jest potrzebny, bo wartości własne \(\displaystyle{ B}\), będą podniesione do kwadratu (względem tego jakie były w \(\displaystyle{ A}\)). Jak widać, jest droższy i wymaga więcej liczenia, jednak jest ogólniejszy. Możesz go stosować również dla macierzy symetrycznej.
Podsumowując: wzór podany przeze mnie możesz stosować w przypadku każdej macierzy, a podany przez Ciebie dla macierzy symetrycznych.
Jeśli macierz jest symetryczna, to wszystkie wartości własne są rzeczywiste, więc Twój wzór \(\displaystyle{ \left| \lambda_{max}A\right|}\), ma sens i jest lepszy, bo wymaga mniej liczenia.
Natomiast wzór podany przeze mnie działa w ogólnym przypadku i korzysta z Twojego, wytwarzając najpierw macierz symetryczną \(\displaystyle{ A^T A}\), a potem stosuje dla niej \(\displaystyle{ \left| \lambda_{max}B\right|}\), gdzie \(\displaystyle{ B=A^T A}\). Pierwiastek jest potrzebny, bo wartości własne \(\displaystyle{ B}\), będą podniesione do kwadratu (względem tego jakie były w \(\displaystyle{ A}\)). Jak widać, jest droższy i wymaga więcej liczenia, jednak jest ogólniejszy. Możesz go stosować również dla macierzy symetrycznej.
Podsumowując: wzór podany przeze mnie możesz stosować w przypadku każdej macierzy, a podany przez Ciebie dla macierzy symetrycznych.