Układ 2 równań z 3 niewiadomymi

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Elcanio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 17 lut 2017, o 16:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Układ 2 równań z 3 niewiadomymi

Post autor: Elcanio » 17 lut 2017, o 18:44

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x _{1}+3x _{2}+x _{3} =2\\4x _{1} +6x _{2}+2x _{3} =6\end{cases}}\)
I moje pytania, jak to rozwiązać? Jaką metodą?
Dostałem screena od kumpla to widziałem, że zrobił 3 wiersz 0x _{1} +0x _{2} +0x _{3} =0
Wyznacznik wyszedł 0, to rozumiem, potem licząc R było
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&3&1\\4&6&2\\0&0&0\end{array}\right]}\)
następnie
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&3&1\\4&6&2\end{array}\right]}\)
by ostatecznie zostało
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&3&1\end{array}\right]}\)
i wynik to podobno 1
Czemu się tak robi? skąd się wzięła ta 1?
następnie licząc kolejne R była już macierz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&3&1&2\\4&6&2&6\end{array}\right]}\) (TU JEST BŁĄD KTÓREGO NIE POTRAFIĘ NAPRAWIĆ, to powinna być macierz 2x4 ) z której licząc wyznacznik
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2\\6&2\end{array}\right]}\)
wychodzi 2 co akurat rozumiem, tylko czemu akurat z tej 4 liczb korzystamy a nie z innej?
Ostatecznym wynikiem jest zbiór pusty, a co świadczy o wyniku? Również pojęcia nie mam.
Oraz skąd wiemy na początku że \(\displaystyle{ R^{3}}\)?
Mając tylko te 2 pierwsze równiania muszę rozwiązać całe zadanie lecz nic w nim na dobrą sprawę nie potrafię gdyż nie wiem co to za metoda, jak się jej używa, czy w ogóle się tu jakiejś używa?
Jedynie potrafię zrobić wyznacznik z macierzy 3x3 i 2x2 mówiąc szczerze .
Z góry bym podziękował za pomoc!

blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Układ 2 równań z 3 niewiadomymi

Post autor: blade » 17 lut 2017, o 19:29

Masz macierz :

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{matrix}2&3&1\\4&6&2\end{matrix}\right]}\)
Dla macierzy nie kwadratowej, nie liczysz wyznacznika.
Chcesz policzyć rząd tej macierzy. Robisz to za pomocą elementarnych działań na macierzach. (dodawanie, odejmowanie wierszy/kolumn)

\(\displaystyle{ rz \left[\begin{matrix}2&3&1\\4&6&2\end{matrix}\right] = rz \left[\begin{matrix}2&3&1\\0&0&0\end{matrix}\right] = rz \left[\begin{matrix}2&3&1\end{matrix}\right] = 1}\)

bo rząd to z definicji maksymalna liczba niezależnych wektorów (traktując wektory jako wiersze lub kolumny). Rząd wynosi zero tylko i wyłącznie dla macierzy zerowej.

Chcąc zrobić macierz 2x4, musisz zredukować ilość literek "c" w kodzie do dwóch.
Aby skończyć to zadanie, chcemy sprawdzić rząd macierzy uzupełnionej, czyli macierzy:
\(\displaystyle{ U=\left[\begin{matrix}2&3&1&2\\4&6&2&6\end{matrix}\right]}\)

\(\displaystyle{ rz \left[\begin{matrix}2&3&1&2\\4&6&2&6\end{matrix}\right] = rz \left[\begin{matrix}2&3&1&2\\0&0&0&2\end{matrix}\right] = 1 + rz \left[\begin{matrix}0&0&2\end{matrix}\right] = 1+1=2}\)

Skoro rząd macierzy \(\displaystyle{ A}\) jest różny od rzędu macierzy uzupełnionej \(\displaystyle{ U}\), to nasz układ równań jest sprzeczny, a zatem nie ma rozwiązań. (korzystając z twierdzenia Kroneckera-Capellego)

Elcanio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 17 lut 2017, o 16:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Układ 2 równań z 3 niewiadomymi

Post autor: Elcanio » 17 lut 2017, o 20:07

Ooooo przynajmniej teraz coś rozumiem tylko nie do końca wiem co to są te rzędy macierzy i jak je wyliczyć :/

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16852
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2835 razy

Układ 2 równań z 3 niewiadomymi

Post autor: a4karo » 17 lut 2017, o 20:11

To odejmij od drugiego równania dwa razy równanie pierwsze i zobacz, co dostaniesz.

Elcanio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 17 lut 2017, o 16:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Układ 2 równań z 3 niewiadomymi

Post autor: Elcanio » 17 lut 2017, o 20:15

tak to to wiem, tylko nie wiem skąd się ta 1 w wyniku wzięła, bo pozostał jeden wiersz?

blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Układ 2 równań z 3 niewiadomymi

Post autor: blade » 17 lut 2017, o 21:36

Tak, został jeden niezerowy wiersz.
Rząd to MAKSYMALNA liczba liniowo niezależnych wektorów.
Gdy w kolumnie/rzędzie masz same zera i jeden różny od zera element, to go skreślasz.
np:

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{matrix}1&3&3\\0&2&4\\0&8&11\end{matrix}\right]}\)

Skreślimy pierwszą kolumnę i pierwszy rząd i do rzędu dodajemy jeden czyli:
\(\displaystyle{ rz A = 1 + rz\left[\begin{matrix}2&4\\8&11\end{matrix}\right]}\)
Czyli krótko mówiąć, sprowadzasz macierz do postaci schodkowej, ilość schodków = rząd macierzy. (ja po prostu od razu sobie wykreślam schodki i dodaje rząd)

Elcanio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 17 lut 2017, o 16:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Układ 2 równań z 3 niewiadomymi

Post autor: Elcanio » 17 lut 2017, o 21:48

ooo i super i ostatnie pytanie, czyli za każdym razem gdy wykreślamy wiersz to dodajemy 1 do całości? czyli rząd tej macierzy co podałeś to będzie równy 3?

blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Układ 2 równań z 3 niewiadomymi

Post autor: blade » 17 lut 2017, o 22:09

Tak, rząd tej macierzy wynosi 3. Warto najpierw policzyć wyznacznik macierzy, gdyż rząd macierzy jest równy najwiekszemu stopniowi takiego minora, którego wyznacznik jest różny od zera.
W tym wypadku wyznacznik naszej macierzy jest różny od zera, więc rząd jest równy jej stopniowi, czyli 3.
Jednak jeśli rząd macierzy głównej jest różny od zera, to mozna szukać minorów (w tym wypadku stopnia drugiego), czyli bierzemy wszystkie możliwe podmacierze, naszej macierzy głównej, które sa stopnia drugiego, jeśli któryś z wyznaczników tych podmacierzy będzie różny od zera, to rząd jest równy 2, i tak dalej.

Dla treningu możesz wziąć, losowe macierze i policzyć ich rzędy.
Wynik możesz sprawdzić w kalkulatorze takim jak np. wolframalpha.com (linkowanie mi nie działa, piszę z telefonu :p)
po wpisaniu
row {(a, b, c), (d, e, f), (g, h, i)}
powinieneś dostać odpowiedź.

ODPOWIEDZ