Zbiór potęgowy produktu zbiorów

[qazze]

Czy prawdą jest, że \(\displaystyle{ P(A\times B)=P(A)\times P(B)}\) ?

Czy moje poniższe obliczenia są dobre?

Weźmy \(\displaystyle{ A=\emptyset ,B=\lbrace \emptyset \rbrace}\)
Wtedy \(\displaystyle{ P(A\times B)=P(\emptyset \times \lbrace \emptyset \rbrace )=P(\emptyset )=\lbrace \emptyset ,\lbrace \emptyset \rbrace \rbrace}\)
A prawa strona \(\displaystyle{ P(A) \times P(B)=\lbrace \emptyset ,\lbrace \emptyset \rbrace \rbrace \times \lbrace \emptyset ,\lbrace \lbrace \emptyset \rbrace \rbrace \rbrace =\lbrace \ \left\langle \lbrace \emptyset \rbrace ,\lbrace \lbrace \emptyset \rbrace \rbrace \right\rangle \ \rbrace}\)
\(\displaystyle{ \lbrace \ \langle \lbrace \emptyset \rbrace ,\lbrace \lbrace \emptyset \rbrace \rbrace \rangle \ \rbrace =_{K} \lbrace \lbrace \lbrace \emptyset \rbrace ,\lbrace \lbrace \emptyset , \lbrace \lbrace \emptyset \rbrace \rbrace \rbrace \rbrace \rbrace \rbrace}\)
Więc są różne.

Tylko nie jestem pewien szczególnie ostatniej linii rozwiązania, proszę o sprawdzenie.

[Jan Kraszewski]

Wtedy \(\displaystyle{ P(A\times B)=...=P(\emptyset )\red=\lbrace \emptyset ,\lbrace \emptyset \rbrace \rbrace}\)

To jest nieprawda.

A prawa strona \(\displaystyle{ P(A) \times P(B)\red=\lbrace \emptyset ,\lbrace \emptyset \rbrace \rbrace \times \lbrace \emptyset ,\lbrace \lbrace \emptyset \rbrace \rbrace \rbrace}\)

To też jest nieprawda.

Ale kontrprzykład jest dobry, trzeba tylko dodać poprawne uzasadnienie.

JK

[qazze]

\(\displaystyle{ P(A\times B)=P(\emptyset \times \lbrace \emptyset \rbrace )=P(\emptyset )=\lbrace \emptyset \rbrace}\)
\(\displaystyle{ P(A) \times P(B) = \lbrace \emptyset \rbrace \times \lbrace \emptyset ,\lbrace \emptyset \rbrace \rbrace = \lbrace \left\langle \emptyset ,\emptyset \right\rangle,\left\langle \emptyset ,\lbrace \emptyset \rbrace \right\rangle \rbrace}\)

\(\displaystyle{ \left\langle \emptyset, \emptyset \right\rangle =_{K}\left\{ \left\{ \emptyset \right\},\left\{ \emptyset, \emptyset \right\} \right\}=\left\{ \left\{ \emptyset \right\} \right\}}\)
\(\displaystyle{ \left\langle \emptyset, \left\{ \emptyset \right\} \right\rangle =_{K} \left\{ \left\{ \emptyset \right\},\left\{ \emptyset, \left\{ \emptyset \right\} \right\} \right\}}\)
więc \(\displaystyle{ \lbrace \left\langle \emptyset ,\emptyset \right\rangle,\left\langle \emptyset ,\lbrace \emptyset \rbrace \right\rangle \rbrace =_{K} \left\{ \left\{ \left\{ \emptyset \right\} \right\},\left\{ \left\{ \emptyset \right\},\left\{ \emptyset, \left\{ \emptyset \right\} \right\} \right\}\right\}}\)

a stąd jest to różne. Teraz dobrze jest to zrobione?

[Jan Kraszewski]

Dobrze, choć dla mnie odwoływanie się do definicji pary uporządkowanej nie jest konieczne. Żadna para uporządkowana nie jest zbiorem pustym i to wystarczy.

JK