centralizator, podgrupy, cykliczność

[Lyzka]

Mam rozwiązane zadania, ale mam do nich kilka pytań. Poniżej przedstawię rozwiązania i zamieszczę w nich swoje pytania. Uprzejmie proszę o wyjaśnienie mi kilku zagadnień (Pytania zaznaczę kolorem niebieskim dla lepszej czytelności)

1. Wykazać, że dla dowolnego elementu \(\displaystyle{ a}\) grupy \(\displaystyle{ G}\) centralizator \(\displaystyle{ C(a)=\left\{ g \in G \left| ga=ag \right\}}\) jest podrupą w \(\displaystyle{ G}\). Wyznaczyć centralizatory wszystkich elementów w grupie \(\displaystyle{ S_3}\).

\(\displaystyle{ (1)\ x \in C(g) \Rightarrow x^{-1} \in C(g) \\
x^{-1} (xg)x^{-1}=x^{-1}(gx)x^{-1}}\)
\(\displaystyle{ gx^{-1}=x^{-1}}\) więc \(\displaystyle{ x^{-1} \in C(g)}\)

\(\displaystyle{ (2)\ x,g \in C(g) \Rightarrow xg \in C(g) \\
(xy)g=x(yg)=x(gy)=(xg)y=(gx)y=g(xy) \Rightarrow xy \in C(g)}\)

Czyli jest to podgrupa.

Teraz centralizatory. Tutaj, aby coś było centralizatorem musi zachodzić tylko przemienność?

\(\displaystyle{ C(id)=S_3 \\
C((1,2))=\left\{ id, (1,2)\right\} \\
C((1,3))=\left\{ id , (1,3)\right\} \\
C((2,3))=\left\{ id, (2,3)\right\} \\
C((1,2,3))=C((1,3,2))=\left\{ id, (1,2,3) , (1,3,2)\right\}}\)

Nie wiem, czy dobrze to rozumiem. Na przykładzie: \(\displaystyle{ \left( 1,2\right) , \left( 1,2,3\right)}\) nie może być centralizatorem \(\displaystyle{ C\left( \left( 1,2\right) \right)}\) bo \(\displaystyle{ \left( 1,2\right) \left( 1,2,3\right) =\left( 2,3\right)}\), a \(\displaystyle{ \left( 1,2,3\right) \left( 1,2\right) =\left( 1,3 \right)}\), czyli nie zachodzi przemienność?

2. Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ G}\) nie zawiera właściwych podgrup, to \(\displaystyle{ G}\) jest grupą cykliczną rzędu pierwszego.

Grupy cykliczne nieskończone są izomorficzne z grupą liczb całkowitych \(\displaystyle{ ( \ZZ , + )}\), która ma właściwe podgrupy (tzn \(\displaystyle{ < G}\) , gdzie \(\displaystyle{ G}\) to cała grupa).

Czyli \(\displaystyle{ G}\) jest skończoną grupą cykliczną. Warunek, że grupa cykliczna jest skończona to \(\displaystyle{ g^{|G|}=e}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ g}\) w \(\displaystyle{ G}\) tak?

A teraz dowód.:
Zakładam, że \(\displaystyle{ n}\) jest jest liczbą pierwszą
\(\displaystyle{ \left| G\right| = n, o(g)=d, d|n}\), czyli \(\displaystyle{ n=d \cdot k}\), czyli \(\displaystyle{ g^n=g^{dk}, (g^d)^k=e^k=e}}\)
wynika z tego, że \(\displaystyle{ n}\) nie jest liczbą pierwszą, zatem sprzeczność, czyli \(\displaystyle{ n}\) jest liczba pierwsza, bo rząd \(\displaystyle{ G}\) jest równy \(\displaystyle{ n}\). Zgadza się?

3. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ A,B}\) są podgrupami grupy abelowej \(\displaystyle{ G}\), to zbiór \(\displaystyle{ AB= \left\{ ab \left| a \in A , b \in B \right\}}\) jest podgrupą w \(\displaystyle{ G}\).

(1) \(\displaystyle{ (a_1b_2)(a_2b_2) \in AB}\)

Skąd się wzięło to: \(\displaystyle{ b_1a_2=a_3b_3}\) ?
Tak mam w rozwiązaniu zadania. Dalsza część:
\(\displaystyle{ (a_1b_2)(a_2b_2)=(a_1a_3)(b_3b_2) \Rightarrow (a_1b_2)(a_2b_2) \in AB}\)

(2) \(\displaystyle{ ab \in AB \Rightarrow (ab^{-1}) \in AB}\)
Jak to udowodnić?

[Jan Kraszewski]

3. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ A,B}\) są podgrupami grupy abelowej \(\displaystyle{ G}\), to zbiór \(\displaystyle{ AB= \left\{ ab \left| a \in A , b \in B \right\}}\) jest podgrupą w \(\displaystyle{ G}\).

(1) \(\displaystyle{ (a_1b_2)(a_2b_2) \in AB}\)

Skąd się wzięło to: \(\displaystyle{ b_1a_2=a_3b_3}\) ?
Tak mam w rozwiązaniu zadania. Dalsza część:
\(\displaystyle{ (a_1b_2)(a_2b_2)=(a_1a_3)(b_3b_2) \Rightarrow (a_1b_2)(a_2b_2) \in AB}\)

(2) \(\displaystyle{ ab \in AB \Rightarrow (ab^{-1}) \in AB}\)
Jak to udowodnić?

Nie rozumiem Twoich pytań, ale samo zadanie jest bardzo proste.

\(\displaystyle{ H}\) jest podgrupą \(\displaystyle{ G}\) jeśli jest zamknięta na działania grupowe, czyli dla \(\displaystyle{ h_1,h_2\in H}\) masz pokazać, że \(\displaystyle{ h_1h_2^{-1}\in H}\).

W tym przypadku ustalasz dowolne elementy zbioru \(\displaystyle{ AB}\), czyli \(\displaystyle{ a_1b_1, a_2b_2\in AB}\) i badasz \(\displaystyle{ a_1b_1\left( a_2b_2\right)^{-1}}\). Pamiętając, że \(\displaystyle{ G}\) jest abelowa dostajemy

\(\displaystyle{ a_1b_1\left( a_2b_2\right)^{-1}=a_1b_1b_2^{-1}a_2^{-1}=a_1a_2^{-1}b_1b_2^{-1}}\).

Ale wiemy, że \(\displaystyle{ A,B}\) są podgrupami \(\displaystyle{ G}\), zatem \(\displaystyle{ a_1a_2^{-1}\in A}\) i \(\displaystyle{ b_1b_2^{-1}\in B}\), czyli \(\displaystyle{ a_1b_1\left( a_2b_2\right)^{-1}=a_1a_2^{-1}b_1b_2^{-1}\in AB}\), co należało dowieść.

JK

[Lyzka]

A skąd jest ten warunek : (2) \(\displaystyle{ ab \in AB \Rightarrow (ab^{-1}) \in AB}\), czy nie powinno być \(\displaystyle{ ab \in AB \Rightarrow (ab)^{-1} \in AB}\) jako element odwrotny?

[Jan Kraszewski]

Wygodniej jest sprawdzać jeden warunek, ale jeśli koniecznie chcesz dwa (i pisać dwa razy więcej...), to istotnie powinno być \(\displaystyle{ ab \in AB \Rightarrow (ab)^{-1} \in AB}\).

JK

[Lyzka]

Dlaczego wystarczy jeden warunek? I który to jest?

[Jan Kraszewski]

Dlaczego wystarczy jeden warunek?

Bo jest równoważny tym dwóm.

I który to jest?

\(\displaystyle{ H}\) jest podgrupą \(\displaystyle{ G}\) jeśli jest zamknięta na działania grupowe, czyli dla \(\displaystyle{ h_1,h_2\in H}\) masz pokazać, że \(\displaystyle{ h_1h_2^{-1}\in H}\).

JK

[leg14]

wynika z tego, że n nie jest liczbą pierwszą, zatem sprzeczność, czyli n jest liczba pierwsza, bo rząd G jest równy n. Zgadza się?

Z tego wynika, ze \(\displaystyle{ k = 1}\) (zalozylas, ze n jest pierwsze i doszlas do sprzecznosci z tym, ze n nie jest pierwsze - lekko pomieszane)
Jaka jest w ogole teza tego zadania? oto co pokazalas:
- taka grupa bez podgrup wlasciwych musi byc cykliczna (nie pokazalas tego)
- nieskonczona grupa cykliczna ma podgrupy wlaciwe, zatem dana grupa musi byc skonczona (ok)
- pokazujesz, ze rzad dowolnego elementu w grupie cyklicznej o rzedzie rownym liczbie pierwszej jest rowny tej liczbie [pierwszej] - ok
Jakie wnioski?