dowód indukcyjny
dowód indukcyjny
Witam, mógłby mi ktoś pomóc w zadaniu : Dowód indukcyjny - dla każdej liczby naturalnej n \(\displaystyle{ \ge 5}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ n ^{2} \le 2 ^{n}}\) , z tym, że ma być w nierówności tylko większe bez znaku równości (nie wiedziałam jak to zaznaczyć), z góry dziękuję za pomoc
-
JankoS
- Użytkownik
- Posty: 3099
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
dowód indukcyjny
\(\displaystyle{ (n \in N \wedge 5 \le n ) \Rightarrow n^2<2^n}\).
Dowód indukcyjny po n.
\(\displaystyle{ 1 ^{\circ} n=5 \Rightarrow 5^2=25<32=2^5}\) - prawdziwe.
\(\displaystyle{ 2 ^{\circ}}\)
Założenie indukcyjne: \(\displaystyle{ n^2<2^n}\) dla \(\displaystyle{ 5 \le n}\)
Teza indukcyjna: \(\displaystyle{ (n+1)^2<2^{n+1}}\).
-----------------------------------------------
\(\displaystyle{ (n+1)^2=n^2+2(n+1)+1=n^2+2n+3<(*)n^2+2^n<(**)2^n+2^n=2 \cdot 2^n=2^{n+1}}\).
\(\displaystyle{ (*) \ bo \ dla \ 5 \le n \quad 2n+3<2^n}\). Formalnie rzecz biorąć należłoby to też udowodnić.
\(\displaystyle{ (**)}\) z założenia indukcyjnego.
\(\displaystyle{ 3 ^{\circ}.}\) Z \(\displaystyle{ 1^{\circ},2 ^{\circ}}\) i z zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe.
Dowód indukcyjny po n.
\(\displaystyle{ 1 ^{\circ} n=5 \Rightarrow 5^2=25<32=2^5}\) - prawdziwe.
\(\displaystyle{ 2 ^{\circ}}\)
Założenie indukcyjne: \(\displaystyle{ n^2<2^n}\) dla \(\displaystyle{ 5 \le n}\)
Teza indukcyjna: \(\displaystyle{ (n+1)^2<2^{n+1}}\).
-----------------------------------------------
\(\displaystyle{ (n+1)^2=n^2+2(n+1)+1=n^2+2n+3<(*)n^2+2^n<(**)2^n+2^n=2 \cdot 2^n=2^{n+1}}\).
\(\displaystyle{ (*) \ bo \ dla \ 5 \le n \quad 2n+3<2^n}\). Formalnie rzecz biorąć należłoby to też udowodnić.
\(\displaystyle{ (**)}\) z założenia indukcyjnego.
\(\displaystyle{ 3 ^{\circ}.}\) Z \(\displaystyle{ 1^{\circ},2 ^{\circ}}\) i z zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe.