Pochodna funkcji złożonej

[Sandriel]

Mam do policzenia pochodną:
\(\displaystyle{ f(x)= x^{2} \cdot 4^{ x^{3} }}\)

\(\displaystyle{ a^{b} = e^{blna}}\), ale nie za bardzo wiem jak ugryźć jeszcze tą potęgę:

\(\displaystyle{ z(x)=e^{ x^{3}ln4 }}\)
\(\displaystyle{ z'(x)=e^{ x^{3}ln4 } \cdot ( x^{3}ln4)}\)

Ostatecznie:
\(\displaystyle{ f'(x)= 2x \cdot 4^{ x^{3} } + x^{2} \cdot e^{ x^{3}ln4} \cdot ( x^{3}ln4)'}\)

Czy tak to powinno wyglądać?

[szw1710]

OK. W przedostatniej linii zapominasz o pochodnej (brak prima). Możesz to jeszcze doliczyć. Ale metoda w porządku.

[Sandriel]

Dzięki a mam jeszcze pytanie: Czy po podstawieniu za \(\displaystyle{ x_{o}=1}\) wychodzi Panu \(\displaystyle{ 8+12ln4}\) czy \(\displaystyle{ 8+12ln4+1}\)? Bo ten pierwszy wariant mam sprawdzić czy jest prawdziwy jako zadanie, a wychodzi mi ten drugi i niewiele brakuje.

[szw1710]

Pierwszy wariant. Nie wiem skąd ta jedynka.

[Sandriel]

\(\displaystyle{ f'(x) =( x^{2} )' 4^{ x^{3} } + x^{2} (e ^{x ^{3}ln4 })'}\)
\(\displaystyle{ f'(x) = 2x \cdot 4 ^{x ^{3} } + x^{2}e ^{x ^{3}ln4 } ( {x ^{3}ln4 })'}\)
\(\displaystyle{ f'(x) = 2x \cdot 4 ^{x ^{3} } + x^{2}e ^{x ^{3}ln4 } ( 3x ^{2}ln4 + x^{3} \cdot \frac{1}{4} )}\)

\(\displaystyle{ f'(1) = 2 \cdot 4 + e^{ln4} (3ln4+ \frac{1}{4})}\)
\(\displaystyle{ f'(1) = 8 + 4 (3ln4+ \frac{1}{4})}\)
\(\displaystyle{ f'(1) = 8 + 12ln4+ 1}\)

Gdzie popełniam błąd?

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ f'(x) =( x^{2} )' 4^{ x^{3} } + x^{2} (e ^{x ^{3}ln4 })'}\)
\(\displaystyle{ f'(x) = 2x \cdot 4 ^{x ^{3} } + x^{2}e ^{x ^{3}ln4 } ( {x ^{3}ln4 })'}\)

Tutaj jest dobrze. Ale w trzeciej linijce nie rozumiem po co dopisujesz \(\displaystyle{ x^3 \cdot \frac{1}{4}}\)

Powinno być: \(\displaystyle{ f'(x) = 2x \cdot 4 ^{x ^{3} } + x^{2}e ^{x ^{3}ln4 } ( {3x ^{2}ln4 })}\)

Ażeby ładniej wyglądało to można zapisać tak: \(\displaystyle{ f'(x) = 2x \cdot 4 ^{x ^{3} } + 3 \ln 4 \cdot x^{4}e ^{x ^{3}ln4 }}\)

[Sandriel]

A to się nie liczy tak : \(\displaystyle{ (x^{3} \cdot ln4)' = ( (x ^{3})' ln4 + x ^{3} (ln4)')}\) ?
To ja już nic nie rozumie

-- 8 lut 2017, o 23:43 --

Aaa \(\displaystyle{ (ln4)' = 0}\) bo to stała? O to chodzi?

[a4karo]

A nie prościej tak:
\(\displaystyle{ f(x)= x^{2} \cdot 4^{ x^{3} }}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=(x^2)'\cdot 4^{ x^{3} }+x^2\cdot\left( 4^{ x^{3} }\right)'=2x\cdot 4^{ x^{3} }+x^2\cdot\left( 4^{ x^{3} }\ln(4)\cdot(x^3)'\right)\\
= 4^{ x^{3} }\left(2x+3x^4\ln 4\right)}\)