Inkluzja problem

[ArekKow]

Witam

mam problem przy takich zadaniu, za bardzo nie wiem co tutaj jest tezą a co założeniem oraz jak to udowodnić od kilku godzin próbuje to rozgryźć i nic, proszę o pomoc

\(\displaystyle{ A \setminus B \subseteq C \Leftrightarrow A \subseteq C \cap B}\)

[Jan Kraszewski]

Zamień równoważność na dwa wynikania i każde udowodnij osobno.

JK

[Seth Briars]

\(\displaystyle{ A=C=\left\{ \emptyset\right\},B=\emptyset}\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ A=C=\left\{ \emptyset\right\},B=\emptyset}\)

Pewnie miało być \(\displaystyle{ \cup}\), a nie \(\displaystyle{ \cap}\).

JK

[ArekKow]

Tak \(\displaystyle{ \cup}\)

-- 7 lut 2017, o 00:01 --

\(\displaystyle{ A \setminus B \subseteq C \Rightarrow A \subseteq B \cup C\mbox{ dowolne }x \in A\\
x \in A \wedge (x \in B \cup x \neg \in B)\\
(x \in A \wedge x \in B) \cup (x \in A \wedge X \neg \in B)\\
x \in A \wedge B \cup x \in A \setminus B}\)

Dobrze to robię?

[Jan Kraszewski]

Fatalnie. Piszesz dużo znaczków bez ładu i składu. W dodatku zupełnie niepoprawnie.

Dowód powinien być zapisany zdaniami w języku polskim, a nie ścianą znaczków.

JK

[ArekKow]

Chcemy pokazać że \(\displaystyle{ A \subseteq B \cup A \subseteq C}\).
\(\displaystyle{ A \subseteq B}\) : Ustalamy dowolne \(\displaystyle{ x \in A}\). Skoro \(\displaystyle{ x \in A}\) to z założenia \(\displaystyle{ A \setminus B \subseteq C}\) wnioskujemy że \(\displaystyle{ x \neg \in B.}\)
\(\displaystyle{ A \subseteq C}\): Ustalamy dowolne \(\displaystyle{ x \in A}\). Skoro \(\displaystyle{ x \in A}\) to z założenia \(\displaystyle{ A \setminus B \subseteq C}\) wnioskujemy że \(\displaystyle{ x \in C}\).

Otrzymaliśmy zatem że \(\displaystyle{ x \in A \wedge x \neg \in B}\) zatem \(\displaystyle{ x \in A \setminus B}\)

Coś takiego? można to w ogóle rozłożyć w ten sposób?

[Jan Kraszewski]

Chcemy pokazać że \(\displaystyle{ A \subseteq B \cup A \subseteq C}\).

Po pierwsze, ten zapis nie ma sensu. Nie możesz znakiem sumy mnogościowej łączyć dwóch funkcji zdaniowych.
Po drugie, nic takiego nie chcesz pokazać.

\(\displaystyle{ A \subseteq B}\) : Ustalamy dowolne \(\displaystyle{ x \in A}\). Skoro \(\displaystyle{ x \in A}\) to z założenia \(\displaystyle{ A \setminus B \subseteq C}\) wnioskujemy że \(\displaystyle{ x \neg \in B.}\)
\(\displaystyle{ A \subseteq C}\): Ustalamy dowolne \(\displaystyle{ x \in A}\). Skoro \(\displaystyle{ x \in A}\) to z założenia \(\displaystyle{ A \setminus B \subseteq C}\) wnioskujemy że \(\displaystyle{ x \in C}\).

A to są, niestety, bzdury.

Poza tym zapis \(\displaystyle{ x \neg \in B}\) jest niepoprawny.

Otrzymaliśmy zatem że \(\displaystyle{ x \in A \wedge x \neg \in B}\) zatem \(\displaystyle{ x \in A \setminus B}\)

A to jest gwóźdź do trumny. Napisałeś coś, co jest bez związku z tym, co napisałeś wcześniej i bez związku z zadaniem.

Masz uzasadnić dwa wynikania. Pierwsze z nich to \(\displaystyle{ A \setminus B \subseteq C \Rightarrow A \subseteq C \cup B}\). Założenie to \(\displaystyle{ A \setminus B \subseteq C}\), a teza, która dowodzisz, to \(\displaystyle{ A \subseteq C \cup B}\). Ponieważ teza to zawieranie, więc dowód wygląda tak:

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x\in A}\). Rozpatrzymy dwa przypadki:
1. \(\displaystyle{ x\in B}\). Wtedy tym bardziej \(\displaystyle{ x\in C\cup B}\), co kończy dowód.
2. \(\displaystyle{ x\notin B}\). Wtedy \(\displaystyle{ x\in A\setminus B}\) i z założenia \(\displaystyle{ A \setminus B \subseteq C}\) wynika, że \(\displaystyle{ x\in C}\), czyli tym bardziej \(\displaystyle{ x\in C\cup B}\), co kończy dowód.

Spróbuj teraz uzasadnić prawdziwość wynikania w drugą stronę.

JK

[ArekKow]

Ustalamy dowolne \(\displaystyle{ x \in A}\)
Założenie \(\displaystyle{ A \subseteq C \cup B}\)
Teza \(\displaystyle{ A \setminus B \subseteq C}\)
Z założenia \(\displaystyle{ A \subseteq C \cup B}\) wynika że \(\displaystyle{ x \in C \cup x \in B}\) czyli \(\displaystyle{ x \in C}\) co zgadza się z tezą i kończy dowód.

??

[a4karo]

\(\displaystyle{ x \in C \cup x \in B}\) czyli \(\displaystyle{ x \in C}\) co zgadza się z tezą i kończy dowód.

??

Czyżby? Zwierzak jest psem lub kotem, czyli jest psem?

-- 7 lut 2017, o 18:04 --

A poza tym masz pokazać, że \(\displaystyle{ A\setminus B\subset C}\), więc bierzesz \(\displaystyle{ x}\) nie z \(\displaystyle{ A}\) tylko z ... ?

[Jan Kraszewski]

wynika że \(\displaystyle{ x \in C \red\cup\black x \in B}\)

Poza tym robisz znów ten sam błąd formalny. Powinno być \(\displaystyle{ x \in C \lor x \in B}\). Oczywiście od strony formalnej, bo merytorycznie jest źle, co napisał Ci a4karo.

JK

[ArekKow]

Coś takiego kolega zrobił, też ma problem z tym zad:

Założenie: \(\displaystyle{ A \subseteq C \cup B}\)
Teza: \(\displaystyle{ A \setminus B \subseteq C}\)

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x\in A}\). Rozpatrzymy dwa przypadki:
1. \(\displaystyle{ x\in C}\). Wtedy na pewno \(\displaystyle{ A \setminus B \subseteq C}\) .
2. \(\displaystyle{ x\in B.}\) Wtedy z założenia \(\displaystyle{ A \subseteq C \cup B}\), bo \(\displaystyle{ A=C}\)

Mi wyszło coś takiego:

Założenie: \(\displaystyle{ A \subseteq C \cup B}\)
Teza: \(\displaystyle{ A \setminus B \subseteq C}\)

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x\in C}\). Rozpatrzymy dwa przypadki:
1 ) \(\displaystyle{ x \neg \in B}\) Wtedy tym bardziej \(\displaystyle{ x \in A \setminus B}\), co kończy dowód.
2 ) \(\displaystyle{ x \in B}\) wtedy \(\displaystyle{ x \in C \cup B}\) i z założenia \(\displaystyle{ A \subseteq C \cup B}\) wynika, że \(\displaystyle{ x \in A}\) czyli tym bardziej wynika, że \(\displaystyle{ x \in A \setminus B}\)

[Jan Kraszewski]

Coś takiego kolega zrobił, też ma problem z tym zad:

Założenie: \(\displaystyle{ A \subseteq C \cup B}\)
Teza: \(\displaystyle{ A \setminus B \subseteq C}\)

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x\in A}\). Rozpatrzymy dwa przypadki:
1. \(\displaystyle{ x\in C}\). Wtedy na pewno \(\displaystyle{ A \setminus B \subseteq C}\) .
2. \(\displaystyle{ x\in B.}\) Wtedy z założenia \(\displaystyle{ A \subseteq C \cup B}\), bo \(\displaystyle{ A=C}\)

Do bani. To "rozwiązanie" nie ma nic wspólnego z zadaniem.

Mi wyszło coś takiego:

Założenie: \(\displaystyle{ A \subseteq C \cup B}\)
Teza: \(\displaystyle{ A \setminus B \subseteq C}\)

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x\in C}\). Rozpatrzymy dwa przypadki:
1 ) \(\displaystyle{ x \neg \in B}\) Wtedy tym bardziej \(\displaystyle{ x \in A \setminus B}\), co kończy dowód.
2 ) \(\displaystyle{ x \in B}\) wtedy \(\displaystyle{ x \in C \cup B}\) i z założenia \(\displaystyle{ A \subseteq C \cup B}\) wynika, że \(\displaystyle{ x \in A}\) czyli tym bardziej wynika, że \(\displaystyle{ x \in A \setminus B}\)

Do bani. To "rozwiązanie" nie ma nic wspólnego z zadaniem - udało Ci się "dowieść" coś dokładnie przeciwnego w stosunku do tego, co miałeś zrobić. No i dalej stosujesz niepoprawny zapis.

Robisz to bez elementarnego zrozumienia tego, co masz zrobić. Czy rozumiesz rozwiązanie, które przedstawiłem dla przeciwnego wynikania? Każde jego przejście? Znasz definicję symbolu \(\displaystyle{ \subseteq}\)?

JK

[ArekKow]

Jakiś zbiór jest zawarty w innym zbiorze?

[Jan Kraszewski]

Chodzi o definicję. Bo Twoje "rozwiązanie" wskazuje, że jej nie znasz.

JK