Całka z pierwiastkiem w mianowniku.

[Alad]

Witam
Chciałbym zadać pytanie czy jest prostszy sposób niż liczenie przez podstawienie eulera nasteującej całki \(\displaystyle{ \int_{-1}^{0} \frac{(x^2+1)}{ \sqrt{x^2+2x+5}} dx}\) jeśli tak, to proszę o wskazówki, bo osobiście nie wiem jak to inaczej rozwiązać.

[Premislav]

Mam trochę wprawy, więc pozwolę sobie dodać taki elementarny sposób:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x^2+1}{ \sqrt{x^2+2x+5} }\,\dd x= \int_{}^{} \frac{x^2+2x+5-2x-4}{ \sqrt{x^2+2x+5} }\,\dd x=\\= \int_{}^{} \sqrt{x^2+2x+5}\,\dd x-2 \int_{}^{} \frac{x+1}{ \sqrt{x^2+2x+5} } \,\dd x-2 \int_{}^{} \frac{\dd x}{ \sqrt{x^2+2x+5} }=\\=(x+1)\sqrt{x^2+2x+5}- \int_{}^{} \frac{(x+1)^2}{ \sqrt{x^2+2x+5} }\,\dd x-2\sqrt{x^2+2x+5}-2 \int_{}^{} \frac{\dd x}{ \sqrt{x^2+2x+5} }}\)
Scałkowałem przez części. Teraz niech \(\displaystyle{ I= \int_{}^{} \frac{x^2+1}{ \sqrt{x^2+2x+5} }\,\dd x}\)
Równanie:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x^2+1}{ \sqrt{x^2+2x+5} }\,\dd x=\\=(x+1)\sqrt{x^2+2x+5}- \int_{}^{} \frac{(x+1)^2}{ \sqrt{x^2+2x+5} }\,\dd x-2\sqrt{x^2+2x+5}-2 \int_{}^{} \frac{\dd x}{ \sqrt{x^2+2x+5} }}\)
możemy zapisać jako:
\(\displaystyle{ I=(x+1)\sqrt{x^2+2x+5}-I-2\sqrt{x^2+2x+5}-2 \int_{}^{} \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+5}}\,\dd x}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ I= \frac{1}{2}\left\{ (x+1)\sqrt{x^2+2x+5}-4\sqrt{x^2+2x+5}\right\}+C}\)
bo nietrudno wyliczyć przez podstawienie za zawartość pierwiastka, że
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x+1}{ \sqrt{x^2+2x+5} } \,\dd x=\sqrt{x^2+2x+5}+C}\)

[a4karo]

Szukać rozwiązania całki nieoznaczonej w postaci
\(\displaystyle{ (ax+b) \sqrt{\ } +\int\frac{c} {\sqrt{\ } }}\)