p-dopełnienie w sumie podgrup

[Logan123]

Mam problem ze zrozumieniem końcówki pewnego dowodu.
Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie grupą skończoną, a \(\displaystyle{ M}\) właściwą podgrupą normalną. Ponadto \(\displaystyle{ S}\) jest \(\displaystyle{ p}\)-dopełnieniem (\(\displaystyle{ p}\)-complement, nie wiem czy właściwie to tłumaczę). Wtedy \(\displaystyle{ S \cup_{}^{} M /M}\) jest \(\displaystyle{ p}\)-dopełnieniem w \(\displaystyle{ G/M.}\)

(grupa jest \(\displaystyle{ p}\)-dopełnieniem w \(\displaystyle{ G}\), jeśli jej indeks jest maksymalną potęgą \(\displaystyle{ p}\) dzielącą rząd \(\displaystyle{ G}\))

(\(\displaystyle{ S \cup M}\) oznacza grupę generowaną przed podgrupy \(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ M}\))

Z góry dziękuję za pomoc .

[arek1357]

Rozpisz powinno wyjść


\(\displaystyle{ |S|=p^n}\)

\(\displaystyle{ |M|=p^km}\)

\(\displaystyle{ |G|=p^nr}\)

\(\displaystyle{ |<S \cup M>|=p^ns , p \nmid s}\)

\(\displaystyle{ |<S \cup M>_{|M}|=p^{n-k}l}\)

\(\displaystyle{ |G_{|M}|=p^{n-k}r}\)

cnd...

[Logan123]

Grupa jest p-dopełnieniem w \(\displaystyle{ G}\), jeśli jej indeks (a nie rząd) jest maksymalną potęgą \(\displaystyle{ p}\) dzielącą rząd \(\displaystyle{ G}\). To oznacza, że \(\displaystyle{ |S|= \frac{|G|}{p^n}}\).

Jakoś mnie przyćmiło, gdy zakładałem temat, ale już chyba znam odpowiedź.

\(\displaystyle{ M}\) jest dzielnikiem normalnym, więc:

\(\displaystyle{ |S \cup M/M|=|SM/M|= \frac{|S|}{|S \cap M| } \ge \frac{|S|}{|M|}}\), zatem
1) \(\displaystyle{ p}\) nie dzieli \(\displaystyle{ |S \cup M/M|}\).
2) Z nierówności wynika, że jest to dostatecznie duża podgrupa w \(\displaystyle{ G/M}\).

Jeśli się nie mylę to temat do zamknięcia.