Ekstrema funkcji

[Olka97]

Zbadaj ekstrema lokalne funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)= (x+1)^{3} \sqrt[3 ]{x^{2}}}\)

\(\displaystyle{ f ^{'} (x)= \frac{1}{3}x ^{ -\frac{1}{3} } (x+1)^{2}(11x+2)}\)

\(\displaystyle{ f^{'}(x)=0 \Leftrightarrow x \in \left\{ -1, - \frac{2}{11},0 \right\}}\)

Mam punkty krytyczne i "kandydatów" do ekstremum. Teraz, żeby się przekonać, czy to rzeczywiście ekstrema muszę liczyć \(\displaystyle{ f^{''}(x)}\) i podstawiać te punkty? Czy jest może jakiś inny, szybszy sposób? A jeśli kolejne pochodne dalej będą się zerowały w tych punktach, to w jaki sposób wykazać, że gdzieś jest ekstremum?

[kerajs]

A Twój kandydat : \(\displaystyle{ x=0}\) należy do dziedziny pochodnej?

Tu, prostszym sposobem jest sprawdzenie czy w punkcie podejrzewanym o ekstremum pochodna zmienia znak.
Po obu stronach \(\displaystyle{ x=-1}\) pochodna jest dodatnia. Nie ma zmiany znaku (funkcja po obu stronach \(\displaystyle{ x=-1}\) rośnie), nie ma ekstremum.
Po lewej stronie \(\displaystyle{ x= \frac{2}{11}}\) pochodna jest dodatnia (funkcja rośnie), a po prawej stronie \(\displaystyle{ x= \frac{2}{11}}\) pochodna jest ujemna (funkcja maleje). W tym punkcie jest maksimum.